单治超
化归思想与数学学科特点
2022-11-7 13:08
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    熊惠民教授在著作《数学思想方法通论》中指出:化归是指把待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去,最终求获原问题之解答的一种手段和方法。化归有三个基本要素:化归对象(即对什么化归)、化归目标(即化归到何处去)和化归途径(即如何化归)。书中高度评价了化归的重要作用:“化归方法事实上已经成为数学家们最独特、最典型的思维模式,是数学解决问题的基本思想方法”。

     书中还指出了化归思想在数学中普遍存在的根源:

    其一,数学学科的演绎性质是促使化归思想形成的最根本原因。由于数学是一门演绎推理的学科,于是在一个数学系统的展开中,形成了一系列多向结论链。因此数学大可不必事事都在“请示”原始概念与推理工具,而只需把待解决问题转化为结论链中的某一环节就可以了。随着知识的不断积累,多向结论链会越来越大,化归途径也越来越多。其二,数学的形式化特征也为化归方法的使用提供了便利的条件。数学经过了充分的形式化后,变换起来较自由、容易,较易明确逻辑关系,较易找到化归目标和方向。

    在我看来,化归思想并不只适用于数学学科。在其他学科乃至日常生活中也会用到化归思想。但是其他学科中化归的地位没有数学中那么重要,原因在于:其他学科的逻辑链没有数学这样严谨无误,因此很难说已有旧问题的解决就直接蕴含新问题的解决。(如果是的话,在相应学科中可能就没有太大研究价值了)

    《数学思想方法通论》中对化归三个基本要素的划分我是赞同的。其中最重要的一点在于化归途径(即如何化归)。我认为关于化归途径还应该进一步细化:这样化归为什么对?这样化归带来了什么便利?怎么想到这样化归?把这三个问题都想清楚了,才是对一个具体的化归过程真正理解了。

    高中阶段常见的函数与方程思想,数形结合思想,分类整合思想,一般与特殊思想,均可视为化归思想的具体表现形式。换元法,待定系数法等解题方法,反证法,同一法,数学归纳法等证明方法,本质上也可视为化归思想。

   


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