1829年2月23日一个寻常的下午，俄罗斯喀山大学的物理数学系学术会议上，罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1792-1856）有些激动而又忐忑地宣读着他的关于几何的论文——《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。参加这次学术会议的学者不乏著名的数学家、天文学家、科学院院士等。

然而，这位年轻的数学教授像是喝醉了，说的全是“胡话”。比如三角形内角和小于180度、三角形面积越大内角越小、向锐角的一边作垂线延长后可以不和另一边相交…不仅荒诞离奇，而且与欧几里得《几何原本》相抵触。最让人吃惊的是这些“胡言乱语”竟然从一个严谨的数学教授口中说出，着实令听众瞠目。他滔滔不绝谈论的几何不但与人们的经验感知相违背，而且与有着两千多年的漫长历史、辉煌成就的欧氏几何矛盾。谁会让自己被这些离奇不经的论断“忽悠”呢？

你可以想象当时听众的表情，大多在摇头，即使是最宽容的听众也流露出不解的神情。论文宣讲后，罗巴切夫斯基请在座的同行和专家提提意见，谁知会场竟然陷入长时间的沉默，没有人发言或评论。会后的专家鉴定意见无疑否定的，最后据说居然把论文原稿还弄丢了。

然而，正是这篇突破性的论文的问世，标志着非欧几何的诞生。这个寻常的日子成为它的生日。标志着古老的几何学从经典走向了现代，并开启了一个科学的新时代。

罗巴切夫斯基的发现无疑是突破性的，但为何不仅无人喝彩，后来还遭到诋毁中伤呢？

这还要从欧几里得著名的《几何原本》说起。公元前三世纪，尼罗河三角洲北端的亚历山大城的希腊数学家欧几里得，集前人几何研究之大成，写了一部由定义、公理出发，根据严密的逻辑，推导出初等几何的全部定理和命题。全书共计13卷。2000多年以来，被无数自然哲学家和数学家奉为至高无上的经典，具有极其深远的影响。这种公理体系的逻辑推理方式也影响了后世许多科学著作，如牛顿的《自然哲学之数学原理》等。《几何原本》的开篇就陈述了23个定义(Definitions) 、5条公理(Postulates)、5条公设(CommonNotions)。

其中五条公理是：

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量减等量，其差相等；

4.彼此能重合的物体是全等的；

5.整体大于部分。

五条公设是：

1.过两点能作且只能作一直线；

2.线段(有限直线)可以无限地延长；

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；

4.凡是直角都相等；

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

其中最后一条公设就是著名的第五公设也叫做平行公设。也可以等价的表示成为容易理解的形式：即过直线外一点有且仅有一条直线与原直线平行。等等！也许你会追问公理和公设是从哪里来的呢？好问题。据说提问环节凡是不容易回答的问题都会先得到这样的回复。从上面的罗列你会注意到，公理是那些极简的、必然的观念或共识，被认为是纯粹的、先验的真理，并且与人类无数次的实践经验相一致。公理不像公设那样局限于几何，近代几何不区分公设、公理，统称公理。

后世学者对《几何原本》中五个公理和前四个公设还是很放心的，唯独对第五个公设总觉得不踏实，提出了质疑。多数也并不是怀疑它的真实性，因为它的内容和形式与前面几条有所不同，用途在书中也远不如前面几条广泛，更像个可以被证明的定理，只不过由于欧几里得没能将它证明，才不得不把它放在公设之列。因此自公元前3世纪起到19世纪初，很多人耗费了无数的精力曾试图用前几条公设证明之，从而把它变成一个定理，但都没有成功。

罗巴切夫斯基正是两千余年来试图解决欧氏第五公设问题的过程中的一个数学家，能有幸走上发现之路，与他不懈的思考分不开。

他原本想用数学中常用的反证法来证明，即假设过一点可以作两条以上的直线与原直线平行，这样只要推出的结论与已知的公理或定理矛盾就可以说明其假设的错误，也就是佯谬，从而反证出平行公设的正确，进而把其从公设中剔除。但他经过长久的证明推导后来发现，欧几里得第五公设是独立的，不可能由欧几里得的其他公理给予证明。这原本也没什么，历史上有很多人已经证实了这个结果。但罗巴切夫斯基的数学眼光毕竟是高人一筹，他想既然无法证明第五公设，那么建立在另外的公设基础上的几何学在逻辑也是可行的！这无疑是一个观念的飞跃。

与第五公设不同，他提出假设，即罗巴切夫斯基平行公理：过直线AB外一点C，在平面上可以作不止一条直线和AB平行。听起来懂但不好理解，这也反映了被他称为“虚几何”的特点，与头脑中的平直空间相悖…此外，平行直线m和n构成平行与不平行直线间的边界，由此可见，过C点的AB的平行线不止一条而有无穷多条。在不涉及平行公理的部分，罗氏几何和欧氏几何是一样的；反之则不同。比如在罗氏几何中，三角形内角之和小于180°，而且随着面积、边长的增大而减小。当面积趋于零时，三角形内角之和趋于180°。也就是说，二者并不矛盾，甚至可以把欧式几何视为是罗氏几何趋近无穷小的近似解。后来的黎曼几何也就是球面几何，内角和就大于180°。

可以简单用下面图示来说明这种不同几何间的差异，可究竟哪个是对的呢？当然在各自的公设出发点来说也它们都是正确的。所以今天我们的中学数学还要从欧式几何学起。

在这篇论文之后的几十年，罗巴切夫斯基的工作都没有得到数学界应有的承认，甚至是已经独立研究出相同结果的数学泰斗高斯（CarlGauss），也没有勇气公开正面宣布支持罗巴切夫斯基的工作。当然还有匈牙利的数学家鲍耶（JánosBolyai）后来也独立完成了类似的工作，因此后世把这三位共同称为非欧几何（Non-Euclideangeometry）的发现者与创始人。有人称之为紫罗兰现象，因为这好像春天到了紫罗兰遍地花开一样。但客观地说，对非欧几何的诞生贡献最大的无疑还是那位一生都没有离开过喀山的罗巴切夫斯基。

非欧几何影响深远，不仅仅是几何或数学领域的巨大进步，而且对物理学、天文学以及时空观念的变革都产生了深远的影响。后来非欧几何中的黎曼几何被作为爱因斯坦广义相对论的重要工具，深刻地影响了近代科学的发展，是人类认识史上又一个的伟大成果。

终于，在1893年，喀山大学树立起了据说是世界上第一个专门为数学家所立的雕塑。他就是被后人赞誉为“几何学中的哥白尼”的罗巴切夫斯基。但令人遗憾的是，他生前没有获得这样荣誉。晚年双目失明，晚景凄凉。巧合的是他的去世日期是2月24日，与他那篇当时无人喝彩的划时代论文宣讲日期仅相隔一天。

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