数量级物理学的故事（9）：Fermi的trick (2)
2012-12-15 11:54
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标签：物理学, 数量级, Fermi故事
让我们回头来看看Taylor的分析。
在这个问题的量纲分析中，需要考虑与问题有关的物理量，包括大气的温度、比热、质量密度等。Taylor的分析讨论了比热的影响，发现这个影响的因子是O(1)的数量级。而对于爆炸火球所产生的高温高压气体来说，大气温度的影响可以忽略。所以只需要用到大气的质量密度。
但是对于10英里之外的冲击波来说，其温度已经和大气温度是一个数量级。这样Taylor使用的忽略了大气温度的分析方法就不适用了。
那么Fermi是用了什么分析方法呢？他自己没有说，其他人也没有做——或者也可能有人尝试过，但是根据Fermi说的那两个数据，没有能做出来。
我们不妨来试试：
首先，在10英里这样远的距离上，用什么公式分析合适呢？
这时，单位面积、单位时间冲击波的能量应该是(1/2)rV3，这里V是冲击波在这个距离上的速度。然后从量纲分析可以知道，冲击波“球”面波前的面积大约是(Vt)2。可以得到：
P= E/rV5t3 ,
从而估算出：
E=PrV5t3 .
于是我们需要知道在那一点冲击波的“风速”！
这就是为什么Fermi要撒一把小纸片！
Fermi可能会一些精巧的计算——比如利用大气的粘滞系数来直接求风速。但是我们也可以做数量级分析：
我们知道重力加速度g（近似等于10m/s2），纸片飘落的距离x（=2.5m），距起爆的时间t（=40s），距爆心的距离L（=1.6x104m，这个数据是我们查出来的，Fermi没有提到）。这样可以利用量纲分析估算出两个速度：V1=(2gx)1/2=7m，V2=L/t=400m。
这两个数值显然可以看成是“风速”可能的上下限。利用数量级估计的几何平均法可以得到：V=(V1V2)1/2=53m。
可以近似得到：E=3.35x1013J。
这个数字大约是0.8万吨TNT当量，与Fermi所估计的大约1万吨TNT当量相差无几。
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