磁场的一般表示与“磁螺旋度”（Magnetic Helicity）
2011-7-1 15:27
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标签：磁螺旋度, 磁场表示
Magnetic Helicity （一般翻译成“磁螺旋度”）是描述磁化等离子体物理、拓扑性质 的一种重要守恒量。
关于“磁螺旋度守恒”，笔者曾写过：
今天我们先不说“磁螺旋度”，而是讲一种“磁场的一般表示”。
我们知道，磁场是无源场，散度为零——
。所以磁场的三个分量并不是独立的。或者说。磁场可以用两个独立的变量来描述。
。所以磁场的三个分量并不是独立的。或者说。磁场可以用两个独立的变量来描述。于是有人建议（Gardner, Phys. Rev. 115 (1959) 791; Northrop & Teller, Phys Fluid 117 (1960) 215）：如果两个三维空间的独立变量分别是 
和 
，则这两组曲面的交线可以生成一族磁力线，有
和 ，则这两组曲面的交线可以生成一族磁力线，有
. 其中Northrop & Teller （1960）是这样说的:（见附件）
这种表示看起来很简洁。实际上，人们用这种磁场的一般表示证明了“磁力线冻结”效应。而且这种表示仍然在很多场合被使用。
但是这种表示存在一个致命的问题！
我们来看上面文章中给出的磁矢势：
。用这一表示，我们得到：
。用这一表示，我们得到：
也就是说：磁螺旋度处处为零！！
这显然是不对的！
问题出在哪里呢？
如果我们沿着一条磁力线有电流通过，则在其周围的空间会产生螺旋形的磁力线和“磁螺旋度”。这时如果我们造出两个变量形成的曲面 =常数，和 =常数，使得其交线是这条螺旋形的磁螺旋，就会发现至少其中一个变量必须是“多值”的，即绕着电流一圈之后，要有一个“jump discontinuity”。这会导致 
的空间积分在这个不连续处有贡献。而每次沿“螺距”上升一节（绕电流转过一圈）都多一次贡献，正好等于应有的“磁螺旋度”！
=常数，和 =常数，使得其交线是这条螺旋形的磁螺旋，就会发现至少其中一个变量必须是“多值”的，即绕着电流一圈之后，要有一个“jump discontinuity”。这会导致 的空间积分在这个不连续处有贡献。而每次沿“螺距”上升一节（绕电流转过一圈）都多一次贡献，正好等于应有的“磁螺旋度”！这个“线电流”显然是截面上的一个奇点。在截面上环绕这个奇点可以生成一个二维的复平面。磁力线的几何性质可以用一系列的“重叠”在一起的不同的黎曼面上的路径积分贡献来描述。而这个路径积分应该与“磁螺旋度”是成正比的！
这是一个把物理、几何、复变这些不同的表示结合在一起的有趣的问题。值得一做！
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