“0”、同一性与极值的收敛性问题

 

在讨论极值收敛性之前，我们先简要讨论一下自然数的话题。

自然数是满足人类生活以及从事劳动的计数要求而自然而然地产生的，因之称为自然数。但是如果我们问一下为什么“计数”能够得以进行？答案似乎非常简单，只要所计数的对象具有同一属性即可！这话固然不错，但是对于一个喜欢较真的人，答案也许就不是这样了。

数学家、哲学家莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm von Leibniz)曾说：世上没有两片相同的树叶。

显然，这一观点有重要的科学事实作为依据。但是基于这样的观点，每一个个体都是独一无二的，那么，所有的“计数”都不能进行。

换句话说，自然数的出现是人类忽略同一属性事物的某些差异(即将这类事物之间的差异视为0)，以同一性的思想加以处理的结果。也就是讲，同一性是自然数产生的关键。

言归正传，关于极值的收敛性问题，最具有代表性的典型例子是0/0型和∞/∞型未定式的极值收敛性问题。根据极值理论，一般来讲这类极值无非有三个结果：0，∞和某确定数值。在数学中，将极值等于0或某确定数值称为极值收敛，而将极值等于∞称为极值发散。

但是，如果我们用同一性的观点看极值收敛性的话，可以有完全不同的理解：如果极值等于某确定数值，那么意味着所比较的对象具有同一性，或者说所讨论的是同一性质的物理问题，具有相同物理量纲的问题；而极值等于0或∞，则意味着所比较的对象不具有同一性，或者说所讨论的不是同一性质的物理问题，物理量纲不同的问题，它们之间缺乏可比性。

    当然，如果极值的结果为数值不确定的函数，如lim_x→0f(x)/g(x)=sin(x)的周期函数，f(x)与g(x)也不属于同一性范畴的函数，不具有相同的物理性质，它们之间也缺乏可比性。

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