在古希腊文明中,欧氏几何是“古希腊奇迹”中一朵盛开的不朽之花。
欧几里得(约公元前330—前275)
古希腊数学家。雅典人。著有《几何原本》13卷,是世界上最早公理化的数学著作。欧几里得在这部书中,总结了前人的生产经验和研究成果,从公理和公设出发,用演绎法叙述几何学,其中还包括整数论的许多成果,如求两整数的最大公约数的“辗转相除法”。
欧几里得《几何原本》的演绎体系,为牛顿的物理学巨著《自然哲学的数学原理》和爱因斯坦的《狭义相对论》和《广义相对论》提供了标准范本。欧几里得把数学上当时零散的、片段的几何集大成于《几何原本》,也给物理学方面牛顿和爱因斯坦的研究树立了榜样。
爱因斯坦指出:“西方科学的发展有两个基础: 希腊哲学家发明的形式逻辑体系(如欧几里得几何),文艺复兴时期发现通过系统实验找出因果关系的方法。”
几何学之父——欧几里得
说出来也许会使你感到惊奇:原来,今天你所读的几何课本中的大部分内容,来自2200多年前的一部数学著作——《几何学原本》(又称《几何学原理》)。这部书的作者,便是被誉为“几何学之父”的古希腊著名数学家欧几里得。《几何学原本》在2000多年间,一直被沿用作为几何学的课本。欧几里得是第一个把几何学系统化、条理化、科学化的人。欧几里得是希腊亚历山大大学的数学教授。著名的古希腊学者阿基米德,是他“学生的学生”——卡农是阿基米德的老师,而欧几里得是卡农的老师。
关于欧几里得的生平,没有详细的记载。然而,却流传着许多关于他的有趣的故事……
那时候,人们建造了高大的金字塔,可是谁也不知道金字塔究竟有多高。有人这么说:“要想测量金字塔有多高,比登天还难!”
这话传到欧几里得的耳朵里。他笑着告诉别人:“这有什么难的呢?当你的影子跟你的身体一样长的时候,你去量一下金字塔的影子有多长,那长度便等于金字塔的高度!”
欧几里得的名声越来越大,以至连亚历山大国王多禄米(又译托勒密 Ptolemy)也想赶时髦,学点几何学。于是,国王便把欧几里得请进王宫,讲授几何学。谁知刚学了一点,国王就显得很不耐烦,觉得太吃力了。国王问欧几里得:“学习几何学,有没有便当一点的途径,一学就会?”
欧几里得笑道:“陛下,很抱歉,在学习科学的时候,国王与普通百姓是一样的。科学上没有专供国王行走的捷径(小编注:也可译为:通往几何并没有皇家大道Thereis no royal road to geometry.)。学习几何,人人都要独立思考。就像种庄稼一样,不耕耘,就不会有收获的。”
前来拜欧几里得为师,学习几何的人,越来越多。有的人是来凑热闹的,看到别人学几何,他也学几何。一位学生曾这样问欧几里得:“老师,学习几何会使我得到什么好处?”欧几里得思索了一下,请仆人拿点钱给这位学生,冷冷地说道:“看来,你拿不到钱,是不肯学习几何学的!”
欧几里得沉醉于他的几何学。他对做官、赚钱之类事情,没有多大兴趣。他认为,科学与权势、金钱无缘。正因为这样,他把毕生的精力献给了几何学。如今,人们还把他所研究的几何学称为“欧氏几何”,它是现代几何学的一门学科。
欧几里得(Euclid)生平和故事:
欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一。当时古希腊文明的中心,有浓郁的文化气氛。当他还是个十几岁的少年就迫切想进柏拉图学园学习。一天一群年轻人来到雅典城郊外林荫中的柏拉图学园。只见大门紧闭,门口挂着一块木牌,写着:“不懂几何者,不得入内! ”,是当年柏拉图立下的规矩,为让学生们知道他对数学的重视,前来求教的年轻人给闹糊涂了:正是因为我不懂数学,才来这儿求教,如果懂了还来这儿做什么? 正在他们进退两难时,欧几里得果断地推开了学园大门,头也没有回地走了进去。
著作和主要成就(欧几里得几何Euclid geometry)
几何学兴起于公元前7世纪的古埃及,后经古希腊人传到古希腊的都城,又借毕达哥拉斯学派奠基。在欧几里得前,古希腊人已积累了大量几何知识,然而缺乏系统性,多为片断、零碎的知识,对公式和定理没有严格的逻辑论证和说明。
随着农林畜牧业的发展,土地开发增多,把这些几何学知识系统化,已刻不容缓。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想的研究,察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心,要完成这一重任,他不辞辛苦,从爱琴海边的雅典古城,来到尼罗河流域的埃及新埠——亚历山大城,为的是在这座新兴的,但文化蕴藏丰富的异域城市实现初衷。他一边收集数学专著,向学者请教,一边著书立说,终于在公元前300年,几经易稿而最终定形《几何原本》一书。几何学第一次实现了系统化、条理化,而且又孕育出全新的领域——欧几里得几何学(欧氏几何)。欧几里得几何有时单指平面上的几何,即平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里得空间。这是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的巨作,囊括了几何学从公元前7世纪到欧几里得生活时期——前后共400多年的数学发展历史。
《几何原本》大概是亚历山大(Alexandria)大学(有人评其为世界上第一所大学,欧几里得在此当数学教授)的课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的地方,亚历山大大帝自己到过亚历山大,建立了当时北非的大城,靠在地中海。但是他远征到亚洲之后,很快就死了。之后,他的大将托勒密管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问,就成立了一个大学,就在他的王宫旁边。
不少人称《几何原本》为数学工作者的“圣经”,在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位。著作分13卷,包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个(也有说465个)命题。内容安排上,由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。有八卷讲述几何学,包含了现今中学所学平面几何和立体几何。《几何原本》的意义不限于其内容的重要,或其对定理的出色证明。真正重要的是欧几里得在书中创造的公理化方法。
证明几何命题时,一个命题总是从再前一个命题推导出来的,而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去,应有一些命题作为起点。这些作为论证起点,具有自明性并被公认下来的命题称为公理,如“两点确定一条直线”。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念,如点、线等。在一个数学理论系统中,我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的方法,把该系统建立成一个演绎系统,这样的方法就是公理化方法。
欧几里得正是先摆出公理、公设、定义作为已知要素,再由简单到复杂地证明一系列命题。论证之精彩,逻辑之周密,令人叹为观止。欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人。两千多年来,《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。包括中国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
一、《几何原本》五条几何公理
1.过相异两点,能作且只能作一直线(直线公理)。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径,可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角,则两直线会在该侧相交。
上述前三条公理是尺规作图公理,用来定直线与圆。第四条不一样,好像是一个未证明的定理,即直角的不变性或空间的齐性 (the homogeneity of space)。它规范了直角,为第五公理铺路。第五条公理称为平行公理(平行公设the parallel axiom),可以导出命题:通过一个直线外一点,有且仅有一条不与该直线相交(即平行)的直线。许多人尝试用其他公理来证明这条,都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不可证的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。
二、《几何原本》五条一般公理(a,b,c,d皆为正数)
1.跟同一个量相等的两个量相等;即若 a=c 且 b=c,则 a = b(等量代换公理)。
2.等量加等量,其和相等;即若 a=b 且 c=d,则 a+c = b+d(等量加法公理)。
3.等量减等量,其差相等;即若 a=b 且 c=d,则 a-c = b-d(等量减法公理)。
4.完全叠合的两个图形是全等的(移形叠合公理)。
5.全量大於分量,即 a+b>a(全量大於分量公理)。
三、《几何原本》六个定义
《几何原本》开宗明义是由23个定义出发,接著才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中,首六个特别值得提出来讨论:
1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。
点只占有位置而没有大小,这是修正毕氏学派「d>c」的失败而得到的。然而,在谈论线段的长度时,欧氏直接诉诸常识,根本不用这个定义,避开了「由没有长度的点累积成有长度的线段」之困局。
2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。
3.线的极端是点(The extremities of a line are points.):线段是由点组成的且只有长度没有面积。
4.直线是其组成点,均匀地直放著的线 (A straight line is a line which liesevenly with the points on itself.)
5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length andbreath only.)
6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。
4~6表示,面是由线所组成的,没有厚度。因此,面只有面积,而没有体积。
利用23个定义、10条几何公理於一般公理,可以推导出:等腰三角形的正逆定理,三角形三内角和定理。还可推导出泰利斯 (Thales) 基本定理,用同一种正多边形铺地板只有三种样式,正多面体恰好有五种。事实上,这10条公理就是欧式几何的总源头,已经可以推导出整个欧式几何了。
对欧氏建立几何的动机的猜测
(i)对毕氏学派失败的回应。
(ii)为堵住怀疑派 (Sceptics) 与诡辩派 (Sophists) 哲学家之口,因为他们利用「无穷回溯法」(the infinite regress method)而论证说:「为何知道甲?因为乙;为何知道乙?因为丙;……没完没了,所以我们无法知道甲。」。面对挑战,最好的回应方式是去建立让人信服的知识殿堂,欧氏办到了。
(iii)为安置柏拉图的五种正多面体,正多面体是柏拉图的宇宙论之基石。《几何原本》的末册(第13册)以建构这五种正多面体、研究它们的性质为主。欧氏以它们作为总结。
(iv)为体现柏拉图与亚里斯多德对科学与数学的看法,欧氏属柏拉图学派。他为真理而真理,用几何展示逻辑推理的威力,由第一原理(公理)导出几何知识。
其他成就
1.完全数研究
完全数(Perfectnumber),是特殊的自然数,它所有的真因子(除自身以外的约数)的和,恰好等于它本身。如6=其真因子之和1+2+3,28=其真因子之和1+2+4+7+14。公元前6世纪的毕达哥拉斯最早研究。
欧几里得在《几何原本》中对完全数有探究,他通过2^(n-1)·(2^n-1)的表达式发现头四个完全数。当 n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 当 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 当 n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 当 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 。一个偶数是完全数,当且仅当它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1),此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。
其中2^(n)-1是素数,上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2^(n)-1 的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完全数。手算时代梅森素数使人们更方便的计算完全数,计算机时代的CPU可以更方便的计算。
尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12p+ 1或36p+ 9的形式,其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。
2.欧几里得算法
又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
3.《几何原本》之外的著作
大都失传,有五本著作流传至今,同样包含定义及证明:
a.《已知数》(Data),体例和《原本》前6卷相近,包括94个命题。指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。
b.《圆形的分割》(On divisions of figures)论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分,内容与希罗(Heron of Alexandria)的作品相似。
c.《反射光学》(Catoptrics)论述反射光在数学上的理论,尤其论述形在平面及凹镜上的图像。有人置疑是否真正出自欧几里得之手,作者可能是塞翁(Theon of Alexandria)。
d.《现象》(Phenomena)关于球面天文学的论文,现存希腊文本。与奥托吕科斯(Autolycus of Pitane)所写的On the Moving Sphere相似。
e.《光学》(Optics)早期几何光学著作之一。研究透视问题,叙述光的入射角等于反射角等。认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。
完善和质疑(非欧几何)
公理化方法渗透于数学各个领域,完成公理化结构的《几何原本》用现代标准衡量,在逻辑的严谨性上存在缺点,如:1.一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念),如点、线、面。欧几里得对这些都做了定义,但定义本身含混不清。2.其公理系统也不完备,许多证明不得不借助于直观来完成。3.个别公理不是独立的,即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的《几何基础》出版时得到完善,建立了欧几里得几何的完整、严谨的希尔伯特公理体系。使欧氏几何成为逻辑结构完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。
《几何原本》里的公理五又称之为平行公设(ParallelPostulate)衍生出“三角形内角和等于180度”的定理。在高斯(F. Gauss)的时代,就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利人波尔约(Bolyai)阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,即“三角形内角和不一定等于180度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”(non-Euclideangeometry)。
几何学远不止欧几里得这么简单,非欧几何才是现代几何学的重点!非欧几何的分类主要分为罗氏几何和黎曼几何。欧氏几何的第五条公设(平行公理):若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。也可以简单的说:过直线外一点有且只有唯一一条直线与已知直线平行,这是欧氏几何的理论基础。
罗氏几何也称双曲几何,由俄国数学家罗巴切夫斯基创立,它是独立于欧氏几何的公理系统,欧氏几何的第五公设被替代为"双曲平行公理":过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。在这种公理体系中,通过演绎推理可以证明一系列与欧氏几何不同的命题,例如三角形的内角和小于180度。凡是涉及平行公理的结论,罗氏几何的结论都是不成立的。
黎曼几何:由德国数学家黎曼创立,也称椭圆几何,在这套公理体系下,并不承认平行线的存在,任何一个平面内两条直线一定有交点,认为平面内的直线可以无限延长,但总的长度是有限的,黎曼几何的模型可以看作一个经过改进的球面.随着黎曼几何的发展,发展出许多的数学分支,(代数拓扑学、偏微分方程、多复变函数理论等)成为微分几何的基础,甚至成为广义相对论理论基础。
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