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这篇文章我们来聊聊牛顿引力理论的问题究竟在哪里,以及最后讨论一下狭义相对论与广义相对论的联系。
1、引力质量与惯性质量相等之谜
其实经典力学中重力的表达式一直都隐藏着一个大问题,你把它跟电场力对比一下:
[公式]
对电场力来讲,或者说从力的广泛定义来讲,力定义成“荷”乘以场强比较合理。那要是这样想的话,我们有理由把 [公式] 的这个质量 [公式] 称为引力质量,或者干脆叫引力荷或者重力荷。它代表物体在引力场强一定时,受引力作用的强弱。
而以加速度定义力的话,既然力是改变物体运动状态的原因,那么就跟惯性挂钩,也就是惯性质量 [公式] (它代表物质的多少)乘以加速度:
[公式]
电场那个荷质比我们很熟悉了,也就是电场中的粒子运动,除了取决于场强,还取决于荷质比 [公式] 。就算你两个粒子所处的场强相同,荷质比不一样,加速度就不一样。
但是反观重力加速度,似乎在我们的经验中,包括大量的物理实验都证明:重力场中加速度就是 [公式] ,与“重力荷质比” [公式] 无关。或者说 [公式] 恒成立。
这个事情就很诡异了,凭什么引力质量要和惯性质量相等呢?最靠谱的理解是,惯性质量(也就是物质的多少)根本就是引力质量,也就是引力的荷。跟带电荷就要受电磁力一样,你只要具有惯性质量你就得受引力。这其实已经在暗示我们引力起源于质量了。
2、超距作用问题
这个问题名气很大,在我初中时代就常看科普书提到了。但是没有数学的论述,都是苍白无力的。
我们看牛顿给引力写的公式:
[公式]
这么写仿佛回到读高中的时候,我们还是把它写成矢量式吧:
[公式]
在矢量分析里啊,有两个公式
[公式]
第一个相信学过《数学物理方法》的同学很熟悉了,这里就简单证明一下第二个。
我们写下一个高斯定理:
[公式]
左边的面积分,需知其通量之意,而 [公式] 方向是垂直任取的高斯面的,可以放心计算:
[公式]
而考虑到右边是个体积分,我们直接采用狄拉克函数 [公式] 来把它改成积分形式:
[公式]
证毕。
回到我们的问题上,既然有(2)的第一式,我们把(1)改造为:
[公式]
我们借鉴电势与电场力的关系 [公式] ,加之第一个问题讨论过了,引力质量等于惯性质量。于是定义出引力势:
[公式]
那么
[公式]
需要知道的是,这里的 [公式] 是很不靠谱的东西,因为如果从普适性出发,我们要表示质量的话,应该从密度对体积积分入手才是。也就是在公式的普适性上,密度比直接写个质量靠谱。而 [公式] 涉及到体积的积分,我们又知道了(2)的二式, [公式] 函数和积分,天造地设!
对(3)的第二个等式求散度:
[公式]
更狠一点,我们取几何单位制 [公式] ,得到最简洁、最本质的--牛顿引力势方程
[公式]
它表明引力分布确实受到物质分布的影响。
这里为了体现引力场可能存在的动态变化(时间依赖),我们让 [公式] , [公式] 。
求这个方程的解,看你自己高兴了。不过这泊松方程,还是推荐格林函数法吧,格林函数法也更能体现场的性质。解为:
[公式]
这个东西看起来还好,在 [公式] 时刻的点源 [公式] 传递 [公式] 的距离生成的势函数 [公式] 。但最要命的正是这个源 [公式] 的 [公式] 和势 [公式] 的 [公式] 是同一个 [公式] 。这意味着源的情况可以瞬间、不需要传播时间去影响 [公式] 处的势。这就是小标题提到的,牛顿引力理论的超距作用。
其实也不难理解,这是牛顿引力势方程天然具有的缺陷,没有描述引力作用传播需要时间的性质。或者站在狭义相对论的角度,我们叫它没有协变性。
为了解决这个问题,我们都知道后来诞生了广义相对论。
对于广义相对论的诞生有一种说法是,狭义相对论适用于惯性系,而推广到非惯性系则需要广义相对论。这个观点我不置可否,也许它能从一定角度解释狭义相对论和广义相对论的关系,但它违背了当时的历史背景,也很不自然。
这个事情还得从狭义相对论大获成功说起。当狭义相对论披荆斩棘,以四维时空框架横扫经典物理学各大分支时,遇到了一个铁头娃,这个铁头娃就是引力理论。
其实狭义相对论改造别的理论,无非就是通过协变性,本质上也就是相互作用需要时间来传递,接受四维时空观。但牛顿的引力理论具有我们正文提到的超距作用,而且这个事情怎么改算符都不行。也是许久之后,爱因斯坦才意识到引力本质上不是一个力,而是时空的扭曲。所以狭义相对论里面那个闵氏度规 [公式] 在这个情况下是失效的,我们必须把相对论的背景替换掉。
狭义相对论的背景是四维时空流形和闵氏度规 [公式] 。为了表达扭曲的时空,我们不得不放弃这种特殊的流形,改用任意时空四维流形和任意度规 [公式] 。
虽然这看起来就是惯性系与非惯性系的区别,但其思考出发点并不在此,而是试图将引力纳入相对论框架。
据说近年有物理学家成功构建了狭义相对论框架下的引力理论,但它就是广义相对论。
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