有一位网友用一个特定单粒子分布函数表式，说明牛顿方程与玻尔兹曼方程没有矛盾(见张海涛的博文)。
这实际上是一些“高级”的统计物理书上普遍用的一种例子，使许多物理学者“深受其害”。
从数学上讲，如果从甲能推导出乙，从乙又能推导出甲，甲乙是完全等价的。否则，甲乙的前提和推论可能有较大的差异。我在前文的附文v-final.pdf给出了玻方程与刘维尔定理不相同的七个地方。（刘维尔定理是牛顿定律的一个数学推广。）
该网友用的单粒子分布函数使用了狄拉克函数。如果读者熟悉这个函数，那有关的讨论可以大大的深入。下面两个例子，一个是无碰撞的情况，另一个是有碰撞的情况。了解了以后，你就会发现玻方程最不能处理的就是狄拉克函数。
1）假定空间里有一个粒子的点源（粒子从一个小圆孔持续地泄漏出来）。这个泄漏气体的分布函数可以写为；
$f(t,{\bf r},{\bf v})=\frac{g(\theta,\phi)}{r^2}h(v)\delta(\Omega_{\bf v}-\Omega_{\bf r}),$
其中，r的原点取在点源处，g是纬度和经度某个函数（z轴为孔的法线方向），h是速率的某个函数， $\Omega_{\bf v}\Omega_{\bf r}$ 分别代表速度和位置矢量的方向。这个分布函数显然不符合刘维尔定理，不符合玻方程。
2）假定空间有一个做一维运动的粒子束，它的分布函数可以写为
$f(t,{\bf r},{\bf v})=R(x^2+y^2) h(v_z) \delta(v_x-0)\delta(v_y-0)$
其中，R在z轴为对称轴的一个圆柱内是常数，圆柱外是零。这些粒子会发生碰撞（正向运动的撞上负向运动的，速度快的撞上速度慢的）。你如果运用玻方程来计算碰撞产生的粒子的分布函数（忽略二次碰撞），你就会发现运用玻尔兹曼方程会遇到一些根本性的困难。这就是我在意大利物理学会杂志2002年文章的内容之一。它的正确的计算可以在我发表的文章（An Alternative Approach to Particle-Particle Collisions）中找到。
上面两个例子，大学物理老师，可以给学生或研究生留作讨论题，几天后可以坐在旁边欣赏讨论的结果。
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