陈昌晔的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/陈昌晔

博文

玻方程与牛顿方程有无矛盾?

已有 4243 次阅读 2016-3-11 10:20 |系统分类:科研笔记| 玻尔兹曼方程, 牛顿方程

有一位网友用一个特定单粒子分布函数表式,说明牛顿方程与玻尔兹曼方程没有矛盾(见张海涛的博文)。


这实际上是一些“高级”的统计物理书上普遍用的一种例子,使许多物理学者“深受其害”。


从数学上讲,如果从甲能推导出乙,从乙又能推导出甲,甲乙是完全等价的。否则,甲乙的前提和推论可能有较大的差异。我在前文的附文v-final.pdf给出了玻方程与刘维尔定理不相同的七个地方。(刘维尔定理是牛顿定律的一个数学推广。)


该网友用的单粒子分布函数使用了狄拉克函数。如果读者熟悉这个函数,那有关的讨论可以大大的深入。下面两个例子,一个是无碰撞的情况,另一个是有碰撞的情况。了解了以后,你就会发现玻方程最不能处理的就是狄拉克函数。


1)假定空间里有一个粒子的点源(粒子从一个小圆孔持续地泄漏出来)。这个泄漏气体的分布函数可以写为;

$f(t,{\bf r},{\bf v})=\frac{g(\theta,\phi)}{r^2}h(v)\delta(\Omega_{\bf v}-\Omega_{\bf r}),$  

其中,r的原点取在点源处,g是纬度和经度某个函数(z轴为孔的法线方向),h是速率的某个函数, $\Omega_{\bf v}\Omega_{\bf r}$ 分别代表速度和位置矢量的方向。这个分布函数显然不符合刘维尔定理,不符合玻方程。


2)假定空间有一个做一维运动的粒子束,它的分布函数可以写为

$f(t,{\bf r},{\bf v})=R(x^2+y^2) h(v_z) \delta(v_x-0)\delta(v_y-0)$

其中,R在z轴为对称轴的一个圆柱内是常数,圆柱外是零。这些粒子会发生碰撞(正向运动的撞上负向运动的,速度快的撞上速度慢的)。你如果运用玻方程来计算碰撞产生的粒子的分布函数(忽略二次碰撞),你就会发现运用玻尔兹曼方程会遇到一些根本性的困难。这就是我在意大利物理学会杂志2002年文章的内容之一。它的正确的计算可以在我发表的文章(An Alternative Approach to Particle-Particle Collisions)中找到。


上面两个例子,大学物理老师,可以给学生或研究生留作讨论题,几天后可以坐在旁边欣赏讨论的结果。




https://wap.sciencenet.cn/blog-38149-961948.html

上一篇:玻尔兹曼方程的反面实验论据
下一篇:数学帮助人们思考问题

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (16 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-8-5 06:05

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部