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论波尔兹曼方程的若干推导 精选

已有 17037 次阅读 2013-3-5 08:53 |系统分类:论文交流| 非平衡统计物理, 波尔兹曼方程

提要:这篇论文的目的是要指出,如果我们研究相关教科书足够认真,一些关于波尔兹曼方程的反面论据就会自动浮现出来。


非平衡统计力学的许多概念和方法,尤其是那些与波尔兹曼方程有关的,已经进入教科书很长时间了。虽然它们被认为是很好确立了的,一些隐蔽的问题仍然被我们在以前的论文中揭示了出来[1-2]。这篇论文的目的是要指出,如果我们研究相关教科书足够认真,一些关于波尔兹曼方程的反面论据就会自动浮现出来。

根据波尔兹曼方程,波尔兹曼气体(稀薄的、由多个硬球粒子组成)的分布函数遵守

$(1)quad displaystyle frac{partial f}{partial t}+{bf v}cdotfrac{partial f}{partial {bf x}} +frac{bf F}mcdotfrac{partial f}{partial {bf v}}= left(frac {delta f} {delta t}right)_{rm col},$
其中${bf x}equiv(x_1,x_2,x_3), {bf v}equiv(v_1,v_2,v_3), {bf F}equiv (F_1,F_2,F_3).$

式子(1)的右边实际上是一个积分算子,它描述了粒子间碰撞如何使分布函数增加或减少。在碰撞可以忽略的情形下,这个方程退化为无碰撞的波尔兹曼方程

$(2)quaddisplaystyle frac{partial f}{partial t}+{bf v}cdotfrac{partial f}{partial {bf x}} +frac{bf F}mcdotfrac{partial f}{partial {bf v}}=0.$

在标准理论中,波尔兹曼方程(1)或者(2),以及事先给定的初值和边值条件,构成了一个对波尔兹曼气体的完全描述(不需要或不再需要其它方程的帮助)。为解波尔兹曼方程并使解满足初值和边值条件,数值方法就一般而言是必需的。大家的共识是,现在的计算机还不足够强大,但是将来的计算机某一天会使我们能处理几乎所有的实际波尔兹曼气体。

在做别的事之前,让我们试做一个假想的研究。假定我们有一个很好的能跟踪单个运动粒子而不产生任何其他效应的激光探测器,把这个探测器应用在一个波尔兹曼气体上,可以很容易发现,无论粒子间碰撞能否忽略,牛顿轨道方程始终是有意义的(如果需要考虑碰撞,沿牛顿轨道的粒子存活几率是应该引进的)。问题就这样产生了:因为波尔兹曼方程和给定的初值边值条件已经构成了一个完全集合,我们是否应该简单的无视牛顿方程?如果牛顿方程确被证明为是不可或缺的,那么哪个部分的关于波尔兹曼方程的标准观念就必须放弃呢?带着这些问题我们去经历一下波尔兹曼方程的推导。

作为例子,看一下由瑞夫写的教科书[3]。无碰撞的波尔兹曼方程在那里是用两种方法推导的。第一种是在欧拉框架下研究粒子如何流进流出一个固定的六维相体积元,第二种是在拉格朗日框架下研究分布函数如何在一个运动的六维相体积元中保持不变。在无碰撞波尔兹曼方程的推导完成之后,该教科书在欧拉框架下推导出该方程的碰撞算子。从历史上讲,碰撞算子的构成和解释引起过激烈的辩论和广泛的研究,而无碰撞波尔兹曼方程几乎没有引起什么注意,但是,我们的研究让我们确信无碰撞波尔兹曼方程存在的问题更为紧要和更为基本。

首先来研究该教科书是怎样在欧拉框架下推导无碰撞波尔兹曼方程的。由速度第一分量所造成的流出一个固定的相体积元的净粒子数被表示为

$(3)quaddisplaystyle v_1left[left(f+frac{partial f}{partial x_1}d x_1right)d{bf v}-fd{bf v}right]dx_2dx_3d t. $

类似的,由加速度第一分量所造成的流出同一个相体积元的净粒子数被表示为

$(4)quad displaystyle frac{F_1}m left[left(f+frac{partial f}{partial v_1}d v_1right)d{bf x}-fd{bf x}right]dv_2dv_3d t. $

用同样的方法处理所有的分量,再让那个体积元趋向于无穷小,我们就得到了方程(2)形式的无碰撞波尔兹曼方程。由于在推导(3)和(4)过程中粒子数守恒原理扮演着核心角色,无碰撞波尔兹曼方程也被称为相空间中的连续性方程。另一个要说明的是,该方程的推导和我们如何用数值方法处理该方程的观念密切相关,这个观念就是我们要用一个超级的计算机来计算粒子如何流经每一个小体积元的表面。

如果这个证明是严格成立的,那么无碰撞波尔兹曼方程可以被裁定为一个典型的独立的偏微分方程,并且我们关于无碰撞波尔兹曼方程的所有概念按它们的原意都成立。很不幸,事实不是这样。从数学上讲,包住六维相体积元的表面是五维的,粒子从这样的表面流进流出的确切含义是不能用任何一种直观的方法来定义的。从物理上讲,如果在固定相体积元中的一个粒子同时具有非零的速度和非零的加速度,那么依据式子(3)和(4)的精神实质,我们只能把它辨认为一个将从那个体积元中走出去两次的粒子,一次由于它的速度,另一次由于它的加速度。

这些在欧拉框架下的数学和物理问题不仅造成了概念上的困扰,而且在很大程度上否定了我们能借今天或明天的计算机来解波尔兹曼方程的希望。

我们现在来看看在拉格朗日框架下到底发生了什么。如果把无碰撞的粒子运动看成是符合牛顿方程的变量变换,我们就有

$(5)quad ({bf x},{bf v})rightarrow ({bf x}',{bf v}')$
其中${bf x}^prime={bf x}+{bf v} dt$, ${bf v}^prime={bf v}+ {bf F} dt/m.$

在这种变换下,围绕一个运动粒子的相体积元会变成新的一个

$(6)quad d{bf x} d{bf v}rightarrow d{bf x}'d{bf v}'=left|Jright| d{bf x} d{bf v},$
其中$|J|= left|displaystyle frac{partial({bf x}^prime,{bf v}^prime)} {partial({bf x},{bf v})}right| = 1+ o(dt)^2 . $

在上面评估雅可比的过程里,牛顿方程中的作用力被认为是不依赖于速率的。让那个相体积元趋向无穷小,我们得到了以下的路径不变定理,

$(7)quad (df/dt)|_{rm path}=0 {;;{rm or};;}f(t,{bf x},{bf v})|_{rm path}={rm C} . $

为了得到式子(7),已经假定分布函数沿着路径是完全连续的。在下面的紧接着的讨论中,我们把这个假定看成是理所应当的,并由此去探求路径不变定理会把我们引到何处。

在该教科书的处理中,公式(7)以偏微分算子的形式重新写出,由此无碰撞波尔兹曼方程就被认为得到了应有的证明。

和教科书所给的如此的观念相反,可以相当容易说明路径不变定理(7)和无碰撞波尔兹曼方程(2)并不相互等价,它们代表了不同的数学和物理。事实上,式子(7)严格地等价于

$(8)quad displaystyle left( frac{partial f}{partial t}+{bf v}cdotfrac{partial f}{partial {bf r}}+frac{bf F}{m}cdotfrac{partial f}{partial {bf v}}right)_{dot{bf x}={bf v},dot{bf v}={bf F}/m } =0, $

它与式子(2)在形式上是不同的。式子(2)和(7)一些实质性的不同如下:
A) 式子(2)是一个典型的偏微分方程,在由时间、位置和速度展成的七维空间的一个连续区内,它应该成立。式子(7)是一个常微分方程,在由牛顿方程确立的一维曲线上它成立。换句话说,在(2)中,时间以及位置速度的所有分量被处理成相互独立的量;相反在(7)中,这些量是以确定的方式相互联系起来的。
B) 按照标准理论理解的式子(2)和牛顿方程失去了关联,却和给定的边值条件密切相关。式子(7)和任何边值条件失去了关联,却和牛顿方程密切相关。就解式子(7)而言,当牛顿轨道确定之后,知道初值条件就足够了。这进一步显示了式子(7)事实上是一个常微分方程。
C) 正如说过的那样,式子(2)可以认为是粒子数守恒的一种体现。然而,如果式子(7)被用来研究一个运动的无穷小相体积元里的那些粒子,我们会发现,不仅粒子数守恒,而且能量动量定理也完全成立。联想到流体力学中连续性方程所扮演的角色,我们会觉得式子(2)最多是一个不完整的描述。
D) 按照标准理论去解式子(2),我们会有大量的繁杂的计算工作要做(撇开它能否正确的完成)。为解式子(7),唯一要做的计算工作是要解出牛顿方程。如果把式子(7)的解变成是一种可以看得见的东西,这个解就是一个由无数路径所组成的路径丛,沿着每一条路径,分布函数的初值会向前持续的运动。这样一个至关重要的问题就可以提出来了:上述两种不同的计算方法会产生同一种结果吗?很显然,答案是否定的。其中一个理由是,那些与路径丛以及能量动量定理相关的信息完全寄存在牛顿方程中,提取这些信息的唯一恰当方式是积分牛顿方程。
E) 就欧拉框架下的处理碰撞而言,式子(2)好像具有一定的优越性。但是,我们以前一篇论文就已经指出事实恰恰相反。为了长话短说,让我们来做一个尺度的研究。按照标准理论,我们的工作之一是要计算在一个短时间内,碰撞如何把粒子从一个固定的相体积元中驱赶出去。但如果这个体积元的长度尺寸非常小或趋向非常小,所有的内部的粒子都会因为它们的速度在那个时间段末尾之前从那里运动出去。如果是这样,那为什么我们还要做这个计算呢?至于式子(7),情况就不同了,至少有一件事是大家都知道的:沿有限长牛顿路径的粒子损失几率是有明确的定义的,是可以精确公式化的[3]。

现在就很清楚了,那个在拉格朗日框架下的推导并不把我们引向无碰撞的波尔兹曼方程,恰好相反,它让我们相信没有由牛顿方程定义的路径动力学的全面参与,想要公式化波尔兹曼气体的行为是不可能的。这点不应该使任何人感到惊奇,因为在不考虑碰撞时,单个粒子的动力学一定是起决定作用的,而在考虑碰撞之后,这个决定作用是会减小,但只会逐渐的减小。

对路径动力学重要性和有效性有了印象之后,我们会认为一个新的、完全的、可计算的波尔兹曼气体描述几乎已经在我们手里。然而,真实世界永远比我们想的要复杂,在我们面前至少还有三个困难。第一个困难与路径不变定理本身有关。借助于这个定理,可以证明连续分布函数的连续性几乎都会变得越来越差,其行为会以一种永恒持续增加的方式趋向于不连续分布函数。这个古怪的现象会大大降低这个定理的有效性,造成一系列的物理和数学问题。第二个困难涉及边界,物理边界会持续地产生大量的不能用任何连续分布函数描述的粒子。第三个问题是关于粒子如何被碰撞碰入某一特定的轨道,事实上,如果把能量动量守恒律考虑进去的话,有关的几率不是零就是无穷大[1]。

为了克服这些困难,采用全新的概念似乎不可避免。作者有他的建议[2],你作为读者,也可以提出你自己的设想。在这方面,有大量的工作要做,涉及许多学科和许多领域(流体力学、湍流、等离子体物理、聚变研究,量子统计物理、甚至生物学和宇宙学)。

几十年来,非线性动力学的科学家们已经揭示了大量的关于粒子运动的神奇特性,本文一个隐含的推论是他们的成就会在非平衡统计力学中找到新的非常明显的应用。

作者感谢M.Berry, O.Penrose, V.Travkin, B.Hoover, 张天蓉,管克英,应行仁,文端智等博士所给予的直接和间接的鼓励。(本文是从英文版由作者本人译的,如果需要英文pdf文本,请发信至chen4607@gmail.com) 

参考文献:
[1] C.Y.Chen, I1 Nuovo Cimento B, V117B, p177 (2002)。
[2] Chen, C. PHILICA.COM Article number 88, 111, 123, 175, 198, 234 and a number of preprints by the author on Arxiv. 其中一些文章会在将来重新写过。
[3] F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, (McGraw-Hill Book Company, 1965). 有许多中文的统计力学书里都有波尔兹曼方程的推导。
英文pdf文件:B_final.pdf


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