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向数学朋友或潜在的数学朋友请教

已有 603 次阅读 2020-12-15 10:03 |系统分类:科研笔记

数学中有个方法,叫特征线法(method of characteristics),在一些有名的教科书以及网上可以找到。它把一个类型的偏微分方程与一个常微分方程组等价起来,认为解了那个常微分方程组就等于解了那个偏微分方程,反之亦然。


物理上也有类似的理论, 认为解了无碰撞的玻尔兹曼方程(偏微分方程)就是解了一个多变量的牛顿方程,反之亦然。


我在我的工作中,认为上面的看法是站不住脚的,理由如下:(在下面的表述中,偏微分方程会简称为偏方程,常微分方程组会简称为常方程组)


1)偏方程与常方程组对应不同的系统。偏方程、初值条件和边值条件三位一体与一种系统相对应(简称为偏系统),常方程组和初值条件两位一体与另一种系统相对应(简称为常系统)。在偏系统中,不能再有常方程组介入(至少是多余的),否则可能与边值条件相矛盾。在常系统中,不能再有边值条件的介入(至少是多余的),否则可能与初值条件相矛盾。


2)从连续性的角度看过去,偏系统、常系统是完全不同的两种系统。对于偏系统而言,虽然初值条件与边值条件容许某种非连续(例如分片不连续或称分片连续),但是偏方程给出的中间结果和最后结果都是处处连续可微的。常系统的结果可以有各种不连续,我的工作结论是:常系统内的不连续甚至可以随时间不断的增加(如果不连续可以引入一个定量函数来表征的话)。


3)两种系统对因果性的理解完全不同。对偏系统的空间中的一点而言,它周围的各处都会通过界面对它产生影响。对常系统的空间的一点而言,对它产生影响的点必须处于它所属的路径的上游,其他的影响也要通过上游的事件对它发生作用。


4)从逻辑上讲,A与B相互等价,意味着A能导出B,B也能导出A。这显然是太高的要求。


5)我和北航数学系前主任管克英教授有过交流,他说他有过一个研究,结论是像流体方程那样的偏方程中的各个点,都是常规的点(导数有限且唯一),从拓扑学上看,这种方程从本质上讲不能解释湍流现象,我认为他的想法很深刻。由于种种原因,我们之间这个问题的交流没能深入。


6)从数值求解的角度讲,偏方程有一些方法做数值解,常方程组有一些方法做数值解。这两种数值解有普遍的一致性吗?看文献上许多论文似乎是有的,但是我有点难以接受。


以上想法只能算是一些猜测,从数学上做进一步的研究是可能的也是必要的。不论您是数学、物理或力学等方面的人士,欢迎发表意见。如果这方面已有研究,或有兴趣做研究,您可以自由独立的发表文章,不必受本文影响,但请把您对本文的意见告知我们。



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1 杨正瓴

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