科学网-【请教专家】关于数学微分方程的问题-罗教明的博文

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【请教专家】关于数学微分方程的问题

2014-3-24 17:27

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标签：薛定谔方程, 波函数, 氢原子

氢原子定态薛定谔方程，从数学的角度来讲，是一个二阶微分方程，下面是Wiki百科“氢原子”的介绍：

$-.frac{.hbar^2}{2.mu} .nabla^2.psi +V(r).psi= E.psi$ ；

其中， $.hbar$ 是约化普朗克常数， $.mu$ 是电子与原子核的约化质量， $.psi$ 是量子态的波函数， $E$ 是能量， $V(r)$ 是库仑位势：

$V(r) = - .frac{e^2}{4 .pi .epsilon_0 r}$ ；

其中， $.epsilon_0$ 是真空电容率， $e$ 是单位电荷量， $r$ 是电子离原子核的距离。

采用球坐标 $(r,. .theta,. .phi)$ ，将拉普拉斯算子展开：

$-.frac{.hbar^2}{2.mu r^2}.left .{ .frac{.partial}{.partial r}.left(r^2 .frac{.partial}{.partial r}.right)+.frac{1}{.sin^2.theta}.left[.sin.theta.frac{.partial}{.partial .theta}.left(.sin.theta .frac{.partial}{.partial .theta}.right)+.frac{.partial^2}{.partial .phi^2}.right].right .}.psi - .frac{e^2}{4 .pi .epsilon_0 r}.psi= E.psi$ 。