规范场的新认识
整体微分几何在20世纪下半纪影响了整个数学的每一分支.整体微分几何有一个重要的观念叫纤维丛，陈省身对纤维丛有奠基性贡献.
杨振宁说，可是到了60年代末，我才突然了解到，原来数学家讨论过规范理论.有一个数学家告诉我有关纤维从的研究，而这个纤维丛跟规范场有密切的关系.等到我对纤维丛比较了解以后，我才知道，原来规范场的物理是建筑在一个数学的结构上的.这个数学的结构就是纤维丛，是陈先生做主导发展出来的数学上极为重要的一个观念.
陈省身和杨振宁，一位是20世纪的数学大师，一位是当代物理学巨匠，他们分别耕耘了几十年后，竟然发现彼此的工作之间有深刻的联系:陈省身建立的整体微分几何学，恰为杨振宁所创立的规范场论提供了合适而精致的数学框架.这一科学渊源，事先任何人都没有想到过.杨振宁曾经对陈省身说:“非交换的规范场与纤维丛这个美妙的理论在概念上的一致，对我来说是一大奇迹.特别是数学家在发现它时没有参考物理世界.你们数学家是凭空想象出来的.”陈省身却立刻加以否认:“不，不，这些概念不是凭空想象出来的，它们是自然的，也是真实的!”
1946年陈省身发表关于示性类的论文.1954年杨振宁发表规范场论.对这种数学与物理的惊人一致,陈省身曾回忆说:“可是我们竟不知道我们的工作有如此密切的关系.二十年后两者的重要性渐为人们所了解，我们才恍然我们所碰到的是同一头大象的两个不同部分.”“我们走了不同方向，在数学和物理上都成为一项重要的发展，这在历史上当是佳话.”
现代规范场论始于杨振宁和米尔斯提出的关于强相互作用的同位旋规范不变性理论.杨-米尔斯理论这种非阿贝尔规范理论，总体上是在量子场纲领的框架内提出的，其中相互作用由场量子传递并通过场量子之间的局域耦合实现.从方法论上讲，它受到想拥有一个普适原理，以在众多可能性中确定唯一的耦合形式这样一种愿望的驱动.从物理学上讲，该理论受到强核力的电荷无关性的推动，与此同时又为这种力的短程特征所限制.这个短程困难被如下发现所克服：首先是20世纪60年代初自发对称性破缺的发现，然后是20世纪70年代初渐进自由的发现.随着韦尔特曼和特霍夫特关于非阿贝尔规范理论可重整化性的证明，粒子物理学共同体获得了一种似乎自洽的概念框架.从概念上讲，这个框架在描述自然界中各种基本相互作用、以及探索曾被认为是定域场论的新的整体性特征方面都是强有力的，而这些特征与我们对真空结构和电荷量子化的理解有直接关系，从而开创了一种新的基础物理学研究纲领：规范场纲领.
规范场论是以规范变换群下的不变性为基础建立的理论，它对描述各种基本的相互作用提供了一个适当的确定的框架.物理学中遇到的连续变换对称性可以分为两种：一种是整体对称性，即空间各点作相同变换的对称性；一种是定域对称性，即空间各点变换可以有不同的对称性.当场论的规律要在定域对称变换下保持不变时，必须引入新的场，即规范场.规范场的量子是一种新粒子，该粒子的交换将引起新的相互作用，就是规范相互作用，因此一定的定域对称性自然给出一类相互作用，并且其相互作用规律相当确定，这就为基本相互作用提供一定的可能的来源.最早的规范场论是电磁场论，1954年杨振宁（C.N.Yang）和Mills把它推广到普遍的规范场论，弱电统一理论和量子色动力学的发展都是以此为基础的对称和不变元的关系，晶体的许多性质，只决定于它的不变元的结构.我们了解的理论，如量子色动力学、爱因斯坦的广义相对论，所有这些理论有17个参数，都是对称出来的.
韦尔规范不变性保持电荷守恒的不变性：杨振宁教授说，把韦尔的不可积相性因子等同于电磁学本质的关系，是由于量子力学建立的考虑，在原先韦尔的不可积标量因子式的算度因子中嵌入了一个-i，而使标量因子变为相因子，韦尔的理论就是量子力学中电磁理论.由于嵌入的因子-i，让两个钟分别沿两条不同回路的电流路径回到出发点的实验，这不会影响到钟的快慢，因为它们有不同的相位，但不会有不同的标度，爱因斯坦的异议不复存在.即规范不变性保持了电荷守恒，就像坐标不变性保持能动量守恒那样.杨振宁规范不变性保持引力与电磁等物理规律在某种变换下的不变性：岳东晓教授说，在杨振宁之前人类真正能够写下方程的物理作用只有引力与电磁相互作用.所以杨振宁规范不变性无疑是开创现代世界科学工厂、工业化的一场华人的先驱的深刻革命.所谓世界科学工厂、工业，从牛顿开始，其实就是根据简单的不变性原理，推导物理规律.爱因斯坦从自由下落的电梯里感觉不到地球引力，由此不变性原理导出了引力理论广义相对论，再后发现光线会在引力作用下拐弯，继后推出恒星可能坍缩成黑洞，宇宙会爆炸、膨胀.引力与电磁作用的共同特点是作用距离是无限远，根据爱因斯坦的广义相对论方程以及相应的天文观测，整个宇宙都是充斥着巨高能量的粒子.
1954年杨-米尔斯规范场的论文里，杨振宁博士给出了所有相互作用的原理，以及对应的精确的数学方程，即规范场理论.规范场理论也是基于物理规律的不变性，就是物理规律应该在某种变换下保持不变.如不变性原理推出了相对论以及动量能量守恒等基本规律，当杨振宁把这种不变性扩展到基本粒子的量子理论，要使理论保持不变，就必须存在对应的相互作用.这就是所谓规范场.例如有两种粒子，那么它们之间的变化可以用一个2x2的复数矩阵描述：如果物理规律要在这种类型的局域变换下保持一致，则不能光有这两个粒子，还必须加一个相互作用.规范理论的结构来自于描述某种力的自然定律在对称性上保持不变的特性，而对称性是由该力所支配的粒子性质所产生的.韦耳对后世的影响不在于他的理论结果，而在于他的理论的规范场方法.规范场理论的基本思想是，如果一组物理定律在某个整体对称变换下不变，将它推广到局部对称变换下，还要保持不变就得引入新场，这新场就叫规范场.规范场的量子就是一种新粒子，该粒子的交换引起新的力.可以设想，通过这种从整体对称到局部对称的过渡，便可描述各种力的起源.从本来没有考虑相互作用的自由粒子方程开始，一旦考虑规范不变原理，就必须要求粒子之间有相互作用.杨振宁的2x2矩阵方程导致的理论称为SU(2)规范场.强相互作用的理论是杨振宁理论的简单与直接推广，夸克之间的强相互作用，是一种SU（3）的、精确的杨-米尔斯规范场（SU（3）对应3x3的复数矩阵.这里的3代表的是一类夸克的三种颜色，强相互作用由夸克之间交换所谓的胶子来完成.人们研究发现，这四种相互作用所遵从的守恒定律不同，强作用具有的守恒量最多，电磁作用次之，弱作用更次，这表明它们具有的对称性是不同的.对称性概念似乎不是严格的，因此有人怀疑对称性概念是否普遍有效.1954年，杨振宁和米尔斯以一种并非象历史上的情况那样受到实验观察的启示，而是以统一的美学原则为基础，提出各种作用都可以适用的新的对称性，称为阿贝尔群规范对称，它是一种精确的定域规范变换对称性.它要求存在一个场，称为规范场.对于电磁作用，这一规范场就是电磁场，相应的量子（称为规范玻色子）就是无静质量的光子.规范场可以是多自由度的，对每个自由度有相应的规范场.这样，这种精确对称性的存在就意味着存在许多组特性完全相同的、质量均为零的粒子.然而在现实世界里，除了电磁作用的光子之外，人们没有见到其他质量为零的规范玻色子.因此，杨一米尔斯理论尽管很优美，但它似乎毫无用处.
量子力学中系统状态由波函数描写.波函数通常为复数，复数的幅角称为位相因子.另一方面，一切实验观测量必须为实数，让所有波函数共同变化一个位相因子，在实验中是无法观测的.公共位相因子的不可观测性，表现为量子理论的运动方程式对波函数共同的位相变换保持不变，这称为第一类规范不变性.这种规范变换的不变性是与电荷守恒相联系的.
根据狭义相对论的观点，一切能量的传播速度存在上限，即不能大于光速.让所有空间点的波函数同时作相同的相因子变换，就涉及信号的无穷大传递速度问题.为了协调这种矛盾，引入波函数的局域相因子变换，即变化的相因子与时空坐标有关，这样的变换称为第二类规范变换.为了使动力学方程对第二类规范变换保持不变，必须相应地引入静止质量为零的规范场，称为电磁场.第二类规范变换不变性严格地规定了各类物质场与电磁场的相互作用形式.描写电子场的电磁作用的理论即量子电动力学，正是建立在这种第二类规范变换不变性的基础上，称为U(1)规范作用.量子电动力学取得惊人的成功，使规范不变性成为探索新的运动规律的一种重要方法.对于人类尚未充分了解的新的相互作用，例如强相互作用和弱相互作用，规范不变性可以作为探索相互相作用具体耦合形式的依据.
最早的规范理论是电磁理论，1954年杨振宁和密耳斯将其推广，建立了一般化的规范对称性的数学理论，迈出统一基本相互作用的决定性一步.1954年杨振宁和米尔斯(Yang-Mills)提出了对同位旋场规范化的SU(2)规范理论，称为非阿贝尔规范理论.这是规范理论向前发展的决定性步骤，SU(2)规范理论很容易被推广到各种复杂形式的规范理论中去.当时SU(2)规范理论中遇到的一个重大困难是，严格的规范不变性要求规范场的量子是零质量的矢量粒子.作为U(1)规范场的电磁场，它的量子是光量子，静止质量为零.但是，这种一般化的规范理论是非阿贝尔的，而在非阿贝尔规范理论中，规范场量子的零质量成为电磁场以外的其他三种基本相互作用描述的主要困难.但是，实验上再没有发现其他零质量的矢量粒子，这是非阿贝尔规范理论（non-Abeliangaugetheory）提出以后没有迅速得到应用的根本原因.但是凡是符合客观实际的理论一定会有顽强的生命力，会经得起时间的考验.
引力场几何化纲领与量子场纲领之间存在着联系提供了真正的可能性.关键在于，一方面，规范场论与引力场论之间在数学结构上存在惊人的相似性，通过细致类比，可以为规范场理论找到合理的几何化解释.另一方面，规范场理论和一般量子场理论之间又存在着密切的关系.由于量子场理论唯有符合规范对称性才是可以重整化的，因此有了对规范理论的真正理解，回过头来也就可能对量子场论有更深刻的理解.按照规范场纲领，各种相互作用都能用规范势描述.这个纲领在所谓的标准模型中焕然一新，标准模型的成功鼓舞了对这一纲领的进一步扩展.人们付出了巨大的努力，但不论是在弱电作用力和强作用力的统一上，还是在引力的规范上，都没有成功.因此，关于规范原理的普适性问题仍争论不休.在规范理论中规范势扮演的角色与广义相对论中引力势扮演的角色是相当的.基本物理学的新近发展（超引力与现代卡卢察-克莱因理论）已经打开了联系规范势与时空额外维上几何结构的大门，如果把规范场纲领表达为这样的形式：相互作用是通过与要么存在于内部空间、要么存在于时空的额外维的与一种几何结构不可分离地相互关联的量子化规范场实现的，那么就可以把规范场纲领看作几何纲领与量子场纲领的综合.
从20世纪70年代以来，规范场纲领没能取得进一步的进展，不论在其解释或预见基本粒子的新性质方面，还是在解决它所面临的概念困难方面.部分原因是它的停止不前，部分原因是20世纪场论的概念已经指向新的方向：有效场论.量子场论在经历20世纪70年代后期至80年代初期的一小段乐观主义时期后，量子场论的困难，甚至在其标准模型的最复杂形式中，从20世纪80年代中期开始就变得越来越明显：量子色动力学对低能π介子—核子相互作用的解释看来几乎难以做到.由于与如下一些问题相关的困难，如夸克禁闭问题、希格斯粒子的存在问题、代的问题等等，甚至是弱电理论的自洽性也受到怀疑.不仅如此，弱电与强相互作用的统一也遭受攻击，更不用说引力的量子化及其与其他相互作用的统一.
大多数象温伯格那样目光锐利的理论学家更清楚地认识到，从20世纪70年代后期开始，在过去的40年中，量子场论的概念基础已经发生了一些根本性的转变，在澄清原有概念的基础上发展出诸如对称性破缺、重整化群、退耦、不可重整化理论、渐进安全、有效场论等一些新概念.有效场论纲领是温伯格首创的，一开始有效场论还把可重整化性作为指导原理，最终却导致了对重整化的新理解，并对可重整化性的基础性提出极大挑战.如果把有效场论看作提出了一幅新的世界图景、一个关于量子场论基础的新概念，那么所面临的一些概念困难，就不可能是能用已经建立起来的方法论来解决的常规困难.在处理这些概念问题时所要求的，是我们关于基础物理学自身概念的巨大改变，即从关注基础理论（作为物理学的基础），变为关注拥有在各种能量标度上都能发挥作用的有效理论.格罗斯和温伯格反对这种解释，他们认为有效场论只是更深层次理论的低能近似，但是他们两人对作为物理学基础的量子场论都失去了信心，并认为更深层次理论或终极理论并不是场论而是弦论.根据笔者的理论，电磁场的本质是电磁质量，没有静止质量的问题，因此规范场的主要结论是正确的，希格斯粒子没有存在的必要.
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