多普勒公式在相对论力学中的应用
假设在P点处有一光源，以时间间隔dt"先后向O点发出两个光信号，若圆盘离静止坐标系s中观察者足够远，则两个光信号到达O的时间差为
， （1）
其中α为t时刻光源的位矢与x轴之间的夹角，R表示光源对静坐标系原点O的位矢，第一项是由光信号传播需要的时间.由洛仑兹变换可知
， （2）
所以， （3）
因此，（4）
当时，圆盘退化成一点，有，即狭义相对论中的多普勒效应，结果和经典教材中的结果一致，进一步验证了狭义相对论中多普勒效应是也是坐标变换的结果.
若光源光波频率，光频率为，则算得： （5）
式中，V为其相对运动速度，c为光真空中速度，为其相对运动方向与光传播方向的夹角。
这就是光波（电磁波）多普勒普遍公式。
若光源和观测者接近沿其连线方向，即时时，那么 （6.1）
这个时候，，谱线在向短波方向移动，称“蓝移”；
若光源和观测者远离是沿其连线方向，此时时，那么 （6.2）
这个时候，，谱线在向长波方向移动，称“红移”；
若观测者的运动方向在垂直于光源方向时，此时时，那么 （6.3）
这时候会发生横向多普勒效应，若时， （7）
如果在某处只有一个辐射原子，光子辐射之前原子处于静止状态，相对于惯性系x轴方向速度为S，辐射量子跃迁之前的原子质量m0是固定的.当原子发出光子，它必须反冲，以维持动量守恒，则射出量子的动量为.根据能量守恒定律有，式中T是原子的动能（发射后），是射出光子的能量.
若转变能为 （8）
则变为
该原子在发射前速度（S系中），发射后速度（S系中）.
能量守恒定律表示为 （9）
动量守恒定律表示为） （10）
（11）
，
上述公式中，是与的夹角，是射出的光子与射出的光子的动量之间的夹角；而E是光子相对于S系的能量.
式（8）—（11）得： （12）
对于u=0情形，有 （13）
所以射出光子相对于S’系的能量.
将式（13）再代回式（12）得： （14）
即同一光子在两个惯性系的能量关系.
对于S’系，光子的能量和其频率的关系为 （15）
对于S系，光子的能量E和其频率v的关系为 （16）
将式（15）和（16）带入（7）得：
（17）
即相对论多普勒公式.其给出了一个光子在两个惯性系里能量之间的联系.
若射出的光子的动量方向与一致，即，则
上式即通用相对论多普勒公式.
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