电场视角下的电路，是一个电荷传输网络，其统一电路方程和动力学模型，详见《电路中的电磁场（9）——从电磁场基本方程推导电路的电荷传输方程及其动力学模型 》。

对应的，磁场视角下的电路，是由一组回路和二端子元件构成的磁通传输网络，其中回路是磁通容器，二端子元件是磁通泵。可以看到：

1）回路流动着闭合的安培-麦克斯韦环流（J_Cir），链接着（环环相扣）闭合磁场（B），使得回路存储着穿过回路面的磁通。安培-麦克斯韦电流的定义，详见《电路中闭合的安培-麦克斯韦电流》。

2）二端子元件，在所在回路环流的驱动下，吸收所在回路存储的磁通，或向所在回路注入磁通。

对于任意一个由X个回路和Y个磁通泵构成一个磁通传输网络，其磁通传输方程和动力学模型，也由准静态电磁场方程导出。

（一）回路的磁通存储函数

由磁矢势的泊松方程，可推导X个回路的磁通存储函数，如图1所示。其中，电感矩阵L_m描述了回路间的磁场相互作用。详细的解析，见《电路中的电磁场（8）——回路作为磁通容器的特性 》。

图1. 一组回路的磁通存储函数

（二）用作磁通泵的二端子元件

用作磁通泵的二端子元件，自身不存储磁通，只是在回路环流的驱动下，用其两端电压，在一个或多个回路中，注入或吸收磁通，实现磁通在回路间的传输。

磁通泵两端的电压大小，代表磁通传输速率。

磁通泵的等效电路及其电路参数的含义，如图2所示。由于自身不存储磁通，磁通泵是由无感性元件及其并联组合构成的，其中并联的偏置电流源是外部驱动力。

图2. 磁通泵的等效电路

磁通泵的驱动电流来自：所在回路的环流，外加偏置电流源，以及由磁通泵两端电压产生的位移电流，如图3 所示。可以看到，电容矩阵C_fp描述了Y个磁通泵之间的电场相互作用。

磁通泵电压电流表达式的详细推导，见于《电路中的电磁场（6）——元件的电磁场特性》一文。

图3. 一组磁通泵的驱动电流方程

（三）磁通泵与回路的相互作用

磁通泵向所在回路注入磁通。回路储存磁通，产生环流。环流驱动磁通泵，调节磁通传输量以及传输速率。

磁通泵与回路的相互作用方程，如图4所示。其中，磁通泵与回路的连接关系，用关联矩阵σ_m描述。

在电荷传输网路中，电荷泵与节点间是一对二关联。不同的是，一个磁通泵可以嵌入在一个或多个回路中。因此，磁通泵与回路间是一对多关联。

图4. 磁通泵与回路的相互作用方程

（四）磁通传输网络的系统模型

综合磁通泵和回路的电路方程，可绘制出磁通传输电路的统一动力学模型，如图5所示，这就是《“哥尼斯堡”电路学(4)— 通用系统模型》中以磁通为载流子的传输系统模型。

图3. 磁通传输网络的统一动力学模型

与电荷传输系统一样，磁通传输系统也包含两种对象和三种关联：

两种对象：

1）X个磁通容器（回路）

2）Y个磁通泵（无感性元件及其并联组合）；

三种关联：

1）X个回路之间的磁场作用关系，用矩阵L_m描述。

2）Y个磁通泵之间的电场作用关系，用矩阵C_fp描述。

3）X个回路与Y个磁通泵之间的连接关系，用矩阵σ_m描述。

（五）图(Graph)模型的局限

由顶点（Vertex）和边（Edge）两种对象构成图（Graph），描述的是顶点和边之间的一对二关联，即任意一条边，能且只能和两个顶点连接。

在磁通传输系统模型中，回路与磁通泵之间是”一对多“的任意关联，已超出了只有“一对二关联”图模型的表达范围。

因此，传统的图（Graph）已不足以描述磁通传输网路的对象关系，取而代之的是磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）。

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电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）是一种以电荷和磁通为载流子，分析约瑟夫森结电路、相滑移结电路等相位相关（phase-dependent）电路的通用模型。其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）和 电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）是描绘电荷和磁通传输的交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解 [1-4]。特别的，MFF图以磁通为载流子，直观的诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025

[2] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[3] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[4] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023. https://doi.org/10.48550/arXiv.2308.01693