王永良
基于图(Graph)的5种电路分析方法(1)——总览
2024-6-14 16:05
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20世纪30年代开始,电路理论逐渐成为一门独立的学科。其标志性特点是:用点-线Graph)建立电路模型,应用图论Graph Theory)数学原理列写电路方程,结合数值求解算法实现电路的计算机辅助分析和设计Computer-Aided DesignCAD)。

电路理论,不是电磁场理论的延申,而是图论在电路这类物理实体中的具体应用。教科书[1-4]里的各种电路分析方法,是从数学而非物理出发,将实际电路转化成点-线图(其中,支路代表电阻(R)、电感(L)、电容(C)、电压源、电流源等基本的二端子元件,节点代表支路汇合的等电位导体),再以基尔霍夫电流、电压定律(KCLKVL)为约束,结合元件的电压-电流关系Voltage-Current relationVCR),联立电路方程组。最后,通过方程组的数值求解,进行电路仿真分析。

可见,电路虽是一个遵循电磁场理论的物理实体,电路分析却是图论的应用(可以不懂麦克斯韦方程组,不能不懂图论方法)。

一图胜千言,图1展示了如何将一个实际电路抽象成图(Graph),并将其结构信息写成:降阶关联矩阵A,基本回路矩阵B,基本割集矩阵Q,以及网孔矩阵M

2则展示了联立电路方程组的3个步骤。其中,利用描述图构造的矩阵ABQM,可得到5KCLKVL表达式,对应形成教科书[1-4]常提到的5种电路分析方法:“支路”法,“节点”法,“割集”法,“回路”法,“网孔”法。

 图1-电路图分析示例.jpg

1. 一个简单电路的图模型及其结构的数学描述

 图2-列写电路方程3步骤.jpg

2. 列写电路方程的3个步骤

 

正所谓“万变不离其宗”,电路分析的宗旨就是求解由“b”个支路电压和“b”个支路电流构成的“2b”问题。可以看出:

1)“支路”法列出的就是最基本的以支路电压支路电流为变量的“2b”方程组。

2)“节点”和“割集”法则分别通过矩阵AQ用“节点电压”和“割集树支电压”对支路电压做了变量代换。

3)“回路”和“网孔”法则分别通过矩阵BM,用“回路电流”和“网孔电流”对支路电流做了变量代换。

现有电路理论的5种分析方法,只是应用ABQM矩阵,列出不同的KCLKVL表达式,不涉及电路元件的物理原理。

 

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电磁场通量分配模型(Electromagnetic-Flux-Distribution Model[5]是一种以电荷和磁通为载流子,分析电路,特别是相位相关(phase-dependent电路(如约瑟夫森结电路,相滑移结电路)的通用模型;其对应的 磁通流通图(Magnetic-Flux-Flow diagramMFF diagram[6][7]和电通流图(Electric-charge-flow diagramECF diagram[8]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图,能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用,加深对电路功能的理解。特别的,MFF图以磁通为载流子,直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1]   C. Desoer and E. Kuh, Basic Circuit Theory. Tokyo, Japan: McGraw-Hill, 1969, pp. 444-461.

[2]   邱关源, 罗先觉. 电路(第6版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2022.

[3]   汪建, 刘大伟. 电路原理(第3版) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2020.

[4]   颜秋容. 电路理论——基础篇 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2017.

[5] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[6] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[7] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[8] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025

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