高翔
读《古今数学思想》有感(后记下)
2022-8-16 13:00
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        还有一种统一是数学与物理的统一,正如数学王子高斯所说的:“数学是自然科学的女皇……”事实上在数学和物理学的发展史上,确实有像分析的严密化这类纯粹靠逻辑推动的研究,但总体来说,合大于分的统一是数学和物理学关系的主旋律,这在20世纪以来尤其如此。

        1. 经典力学中的核心——牛顿第二定律,从数学观点来看就是一个二阶常微分方程(组)。

        2. 电、磁和光的基础——麦克斯韦方程组,从数学的观点去看,就是一阶线性偏微分方程组。

        3. 爱因斯坦最伟大的贡献——广义相对论,在数学中对应黎曼几何。

        4. 现代物理学的另一大支柱——量子力学,在数学中对应泛函分析。

        5. 如果去审视现代物理,比如说杨-米尔斯规范场理论,这最终可以导出粒子物理的标准模型,从数学上看就是纤维丛理论。

        6. 抽象代数中的群论,是刻画对称性最好的工具,在规范场论、凝聚态物理、超弦理论等现代物理学的各个分支中都有重要应用。

        7. 包罗万象的弦理论所对应的,也是整个现代数学。在弦理论学家的启发下,一些困扰数学家许多年的老大难问题得到了完美的解决。难怪有人形容弦理论学家像来自于未来失意的人,只记住了数学证明的只言片语。

        如果我们把世界分成现实世界和数学世界,如果说现实世界的规律是物理学的话,数学世界的规律便是数学。数学与物理学的统一从映射的角度看,就是所建立的从现实世界到数学世界里的映射,至于是不是一一映射,乃至同构或者同胚,就不得而知了。

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