4. 英雄时代——文艺复兴时期的数学
（1）代数方程理论的发展是数域扩充的不竭动力，从自然数到整数、从有理数到实数、从复数到四元数，人类对数的认识在不断的颠覆与重建。
（2）笛卡尔与费马的解析几何成功实现了“数”“形”结合，至此双剑合璧、天下无敌。
（3）牛顿与莱布尼茨继承了阿基米德的思想，发明的微积分使得变量数学登上了舞台，从此数学的发展步入了快车道。
（4）在赌博中诞生了早期的概率论，在确定性的背后中添加了一抹随机的色彩。
5. 群星璀璨——近代的数学
这个时代无疑是数学发展的黄金时代，数学史上那些灿若星辰的伟大名字，大都生活在这个非凡的时代，他们为后世的数学奠定了原创性的思想和观念。至此纯粹数学的三大分支——分析、代数与几何三足鼎立的格局悄然形成。
（1）分析学
（i）在欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶等数学家的努力下，微积分与微分方程的方法渗透到了科学的各个领域，就像一把无所不能的宝剑披荆斩棘、勇往直前。
（ii）雄伟的微积分大厦需要更加坚实的基础，以实数理论为代表的分析严密化在柯西、戴德金、康托、魏尔斯特拉斯的手中成为现实。
（2）代数学
（i）一元n次方程的根式求解问题促使了年轻的数学天才阿贝尔和伽罗瓦建立了近世代数（抽象代数），也启发了库默尔将初等数论拓展到了代数数论。
（ii）狄利克雷和黎曼接过了欧拉和高斯的衣钵，将复变函数应用于数论的研究，创立了解析数论。
（iii）线性代数的创立使得微积分有了坚实的伙伴，给出非线性问题线性化之后精确的数学逻辑。
（3）几何学
（i）对“欧几里得第五公设”的研究使得高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基和黎曼意识到除了欧氏几何外还有新的几何学——非欧几何学的存在。
（ii）黎曼基于流形概念创立的黎曼几何与克莱因提出的“埃尔朗根纲领”无疑是近代几何学的集大成之作。
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