吴杰
什么是微分,微分的理论意义是啥?
2021-10-27 17:43
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我们通常按照当下的高校课本理解微分就是一个小的自变量对应的微小线性函数增量,下面按照通俗的思路说一下微分的概念和意义。拿y=x2这个函数举例,相关图像就想象成曲线上一点处的切线及曲线下无线分割的曲边梯形两张图。 

函数增量Δy=2xΔx+Δx2,按照一般教材,在x处函数的微分为dy=AΔx,此处A只能取2x(及x处的导数)。在此不禁要问,为什么A不能取诸如2x+0.001、2x+0.002等其他常数?看Δy与dy的差值,显然,其差值等于(2x-A)Δx+Δx2,这个差值就是关键所在。如果A不等于2x,则该项中就存在Δx的一次项,如果视Δx为n等分的定义区间(设区间长度为L),即Δx=L/n。当n趋于无穷大时,各小矩形面积之和与实际曲边梯形面积将相差n[(2x-A)Δx+Δx2]的当量,此式中nΔx2极限为0,而n(2x-A)Δx为一个极限不为0的常数,这样,计算出来的数值将和曲边梯形严格不相等。所以微分中的A值在此例中必须取2x。同样的,所有可微函数,其A值永远取导数值。 

以上我们看出,微分是“化曲为直”思想中的一个重要中间变量,微分概念的提出是为了准确确定定积分。微分是通往定积分的桥梁,他们是承接关系,并不是所谓的互为“逆运算”。


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