本文拟介绍克劳修斯不等式的一组热力学推演公式，供参考.
1.克劳修斯不等式
克劳修斯不等式参见如下式（1）：
dS≥δQ/T （1）
对于某热力学过程“A→B”可通过可逆过程与不可逆过程两种方式实现，参见如下图1.
图1.“A→B”可逆过程与不可逆过程关系示意图
设热力学过程“A→B”为体积膨胀过程，则：dU=δQ+δWT+δW' （2）
式（2）中δWT代表体积功，代表δW'有效功（或称非体积功）.
对于热力学可逆过程：dU=δQr+δWT+δW'
=δQr-pdV+δW' （3）
式（3）中δQr代表可逆过程热量.
对于热力学不可逆过程：dU=δQ+δWT+δW'
=δQ-pedV+δW' （4）
式（4）中δQ代表不可逆过程热量；pe代表环境大气压强（或外压）.
对于“A→B”体积膨胀过程，p>pe，则：-pdV<-pedV （5）
平衡态热力学规定热力学“A→B”的可逆与不可逆两过程，dU相同，环境（或外界）提供的有效
功（δW' ）亦相同，由式（3）与（4）可得：
δQr>δQ （6）
另平衡态热力学规定：dS=δQr/T （7）
结合式（1）、（6）及（7）可得：
dS≥δQr/T （8）
式（8）中“=”代表可逆过程，“>”代表不可逆过程.
需明确式（8）与式（1）并不等价，两式中热量的内涵并不相同.
2.克劳修斯不等式推演
由式（3）可得：
δQr=dU+pdV-δW' （9）
将式（9）代入式（8），并整理可得：
δW'≥dU+pdV-TdS （10）
将“U=H-pV”、“H=G+TS”及"G=A+pV"依次代入式（10）可得：
δW'≥dH-Vdp-TdS （11）
δW'≥dG-Vdp+SdT （12）
δW'≥dA+pdV+SdT （13）
可将式（10）、（11）、（12）及（13）也称为克劳修斯不等式的一组推演式.
式（10）、（11）、（12）及（13）中的“≥”，其中“=”代表可逆过程，“>”代表不可逆过程.
3.结论
δW'≥dU+pdV-TdS，δW'≥dH-Vdp-TdS，δW'≥dG-Vdp+SdT 及δW'≥dA+pdV+SdT 是 dS≥δQr/T
的热力学推演，与克劳修斯不等式并不等价.
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