本文拟介绍克劳修斯不等式的一组热力学推演公式，供参考.

 1.克劳修斯不等式

    克劳修斯不等式参见如下式（1）：

     dS≥δQ/T          （1）

     对于某热力学过程“A→B”可通过可逆过程与不可逆过程两种方式实现，参见如下图1.

             图1.“A→B”可逆过程与不可逆过程关系示意图

     设热力学过程“A→B”为体积膨胀过程，则：dU=δQ+δW_T+δW'       （2）

     式（2）中δW_T代表体积功，代表δW'有效功（或称非体积功）.

     对于热力学可逆过程：dU=δQ_r+δW_T+δW' 

                                                  =δQ_r-pdV+δW'                 （3）

     式（3）中δQ_r代表可逆过程热量.

     对于热力学不可逆过程：dU=δQ+δW_T+δW' 

                                                      =δQ-p_edV+δW'             （4）

     式（4）中δQ代表不可逆过程热量；p_e代表环境大气压强（或外压）.

     对于“A→B”体积膨胀过程，p>p_e，则：-pdV<-p_edV        （5）

     平衡态热力学规定热力学“A→B”的可逆与不可逆两过程，dU相同，环境（或外界）提供的有效

功（δW' ）亦相同，由式（3）与（4）可得：

     δQ_r>δQ                                                   （6）

     另平衡态热力学规定：dS=δQ_r/T          （7）

     结合式（1）、（6）及（7）可得：

     dS≥δQ_r/T                                                  （8）

     式（8）中“=”代表可逆过程，“>”代表不可逆过程.

     需明确式（8）与式（1）并不等价，两式中热量的内涵并不相同.

 2.克劳修斯不等式推演

     由式（3）可得：

     δQ_r=dU+pdV-δW'                         （9）

     将式（9）代入式（8），并整理可得：

     δW'≥dU+pdV-TdS                       （10）

     将“U=H-pV”、“H=G+TS”及"G=A+pV"依次代入式（10）可得：

     δW'≥dH-Vdp-TdS                       （11）

     δW'≥dG-Vdp+SdT                      （12）

     δW'≥dA+pdV+SdT                     （13）

     可将式（10）、（11）、（12）及（13）也称为克劳修斯不等式的一组推演式.

     式（10）、（11）、（12）及（13）中的“≥”，其中“=”代表可逆过程，“>”代表不可逆过程.

 3.结论

    δW'≥dU+pdV-TdS，δW'≥dH-Vdp-TdS，δW'≥dG-Vdp+SdT 及δW'≥dA+pdV+SdT 是 dS≥δQ_r/T       

的热力学推演，与克劳修斯不等式并不等价.