1.       受拉扭直杆螺旋线平衡的Greenhill条件：

前篇博文 “DNA超螺旋形态的弹性杆模型” 里叙述了受拉扭直杆的 Greenhill 条件。且利用此判据解释了弹性杆超螺旋形态的形成过程，但未加证明。本文先对 Greenhill 条件给出证明，然后讨论满足 Greenhill 条件所形成的螺旋线平衡状态的稳定性。并基于 Lyapunov 稳定性概念判断受拉扭直杆和螺旋杆的平衡稳定性，得出的结论与传统的欧拉载荷理论相悖，讨论产生这种差异的原因。

将杆的两端连线作为 Z 轴，分别作用沿 Z 轴互相平衡的外力 F 和 -F、外力矩 M₀ 和 -M₀ 。过杆上任意点 P作与 Z 轴正交的平面，与 Z 轴交于 O 点。以 O 为原点，建立定坐标系（O-XYZ）。讨论 P 点处的截面姿态时，将（O-XYZ）的原点移至 P 点，成为 P 点处的参考坐标系（P-XYZ）（图1）。

      图1  弹性杆的受力状态与参考坐标系

利用博文 “螺旋杆--弹性杆的特殊平衡形态” 里建立的与欧拉方程类似的圆截面弹性杆平衡方程：

                         (1a)

                          (1b)

                                                                                                                       (1c)

其中用于投影的 (P-xyz) 为 P点处的截面主轴坐标系。F 为截面的内力主矢，在忽略体积力条件下 F 为常矢量，等于外力 F₀。ω_x, ω_y 为 P点处杆的曲率，ω_z 为扭率，α, β, γ 为 F  矢量相对 (P-xyz) 的方向余弦。利用该文定义的表示截面姿态的欧拉角 ψ, ϑ, φ，将方程组 (1) 中的运动学参数表示为

                                                            (2)

其中以撇号表示对弧坐标 s 的导数。方程 (1c) 可直接积分，为简化公式，设杆无初始相对扭率，令 φ’ = 0，得到

                                                                                                                        (3)

将 P 点处截面的内力矩 M 投影到 Z 轴，应与外力矩 M₀ 平衡，满足 M_xα + M_yβ + M_zγ = M₀，其中 M_x = Aω_x, M_y = Aω_y, M_z = Cω_z。将式 (2),(3) 代入后得到

                                                                                                                    (4)

其中 λ = C/A，m = λω_z0，l = M₀/A。常数 l 和 m 适合于 ϑ 的任意值。将 ϑ = 0 代入式 (4)，得到 l = m。从上式解出

                                                                                                                 (5)

将式 (2), (3), (5)代入方程 (1a)，引入  p = 2F₀/A，利用半角公式做三角变换，整理后得到 ϑ 的解耦的微分方程：

                                                                                                                                (6)

函数 Q(ϑ) 定义为

                                                                                (7)

满足方程 Q(ϑ_s) = 0的常值特解 ϑ_s 表示杆的平衡状态。其中平凡解 ϑ_s = 0 或 π 对应于受拉扭或压扭的直杆状态。此外  ϑ_s  还存在与螺旋线平衡状态相对应的非平凡解:

                                                                                                 (8)

其中 ϑ_s  为螺旋线相对中轴线的倾角。此非平凡解的存在条件为

                                                                                                                                           (9)

此即直杆失稳转变为螺旋杆的 Greenhill 条件。

对于仅受轴向拉力 F₀ 单独作用的直杆，令 M₀ = 0，即 l = 0，则此条件对拉杆 (p > 0) 必自动满足，压杆 (p < 0) 则不能满足。从而得出结论：轴向受拉直杆的平衡状态必不稳定，而受压直杆的平衡状态必稳定。此结论与材料力学中关于压杆失稳的分析结果相悖。此问题将在下一节详细讨论。

2.       Lyapunov 稳定性：

Lyapunov 的稳定性定义和判断方法是运动稳定性学科的理论基础。将运动稳定性理论中的时间变量 t 替换为弧坐标  s ，也可用于判断弹性杆平衡状态的稳定性。以上述受拉扭的弹性杆为例。为简化推导，先讨论仅受轴向拉力的直杆平衡稳定性。设扭矩为零，令  M₀ = 0，即 l = 0，方程 (6) 简化为

                                  (10)

利用线性系统稳定性的传统分析方法，令 ϑ = ϑ_s + x，代入方程 (10)，导出扰动量 x 的线性化扰动方程：

                                                                                                              (11)

将指数特解 x = x₀e^λs 代入扰动方程 (6)，解出特征值：

                                                                                                                (12)

对于轴向受拉直杆，即 p > 0 且 ϑ_s = 0，或 p < 0 且 ϑ_s = π， λ 存在正实根，根据 Lyapunov 稳定性定义，表示受拉直杆的平衡不稳定。对于轴向受压直杆，即 p < 0 且 ϑ_s = 0，或 p > 0 且 ϑ_s = π，则 λ 为纯虚根，表示受压直杆的平衡稳定。

以上得到的受压直杆稳定，而受拉直杆不稳定的结论，与材料力学课程里压杆失稳的欧拉载荷理论相悖。应如何解释？

直杆稳定性的不同结论来源于 Lyapunov 和欧拉对稳定性定义的差异。在压杆的欧拉载荷理论中，压杆只要偏离直杆状态即认为失稳。而 Lyapunov 对稳定性有更精确的定义^[1]。不用数学语言，可通俗地叙述为：若系统的平衡状态在 t = 0 的初始时刻受到微小扰动，在随后的 t > 0 的其它时刻，受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量，则平衡状态稳定。若此偏差随时间 t 无限增大，则平衡状态不稳定。

将同样的定义移植到空间域：若系统的平衡状态在 s = 0 的初始位置受到微小扰动，在弧坐标 s > 0 的其它位置，受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量，则平衡状态稳定。若此偏差随弧坐标 s 无限增大，则平衡状态不稳定。

将上述稳定性定义用于受压直杆。对于 ϑ = 0 的直杆状态，若在 t = 0 的初始时刻，或在 s = 0 的端部出现 ϑ不同于零的微小扰动，则在 t > 0 的其它时刻，或 s > 0 的其它位置，压杆变形为波浪形曲杆。在可能存在的不同于直杆的所有平衡状态中，ϑ 均为零附近的有限量（图2a），符合 Lyapunov 的稳定性定义。

(a)  压杆失稳后的平衡形态                 (b)  拉杆失稳后的平衡形态

图2  拉杆与压杆失稳后的不同平衡形态

拉杆情况则不同，若在 t = 0 的初始时刻，或 s = 0 的端部出现 ϑ 不同于零的微小扰动，则在 t > 0 的其它时刻，或 s > 0 的其它位置，拉杆变形为带回环的曲杆。在可能存在的不同于直杆的平衡状态中，ϑ 可增大至最大值 2π 的任意倍数（图2b），符合 Lyapunov 的不稳定性定义。

造成拉杆和压杆失稳后几何形态明显不同的原因，是因为拉力或压力对任意点力矩的符号相反，使变形后杆的曲率符号相反，以至挠性线的凸性相反。

由此可见，无论在时域或是在空间域，按照 Lyapunov 的稳定性定义，均导致受压直杆稳定，受拉直杆不稳定的结论。

3.       螺旋杆的稳定性：

Greenhill 条件是受拉扭杆直杆有螺旋线平衡的存在条件，但所形成的螺旋杆平衡状态是否稳定，必须作补充分析。

本文第一节已导出对 ϑ 解耦的两端受拉扭弹性杆的平衡微分方程 (6)，且提供此方程的 3 个常值特解，即平凡解 ϑ_s1 = 0,  ϑ_s2 = π 和非平凡解 ϑ_s3。后者是表征螺旋线平衡的特解，是满足 Q(ϑ) = 0 方程的解：

                                                                                                          (13)

函数 Q(ϑ) 的定义见式 (7)。令 ϑ = ϑ_s3 + x，代入方程 (6)，导出扰动量 x 的线性化扰动方程：

                                                                                                                (14)

将 Q(ϑ) 对 ϑ 求导，利用半角公式做三角变换，整理后得到

                                                                                                           (15)

则扰动方程 (14) 的特征值为

                                                                                             (16)

如 ϑ_s3 的存在条件，即 Greenhill 条件 (9) 已得到满足，则 2p/l² > 1 > cos ϑ_s3，λ 为纯虚根，根据 Lyapunov 的稳定性定义，ϑ_s3 表征的螺旋线平衡状态为稳定平衡。

     从而证明，受拉扭直杆若满足 Greenhill 条件，所生成的螺旋线必为稳定平衡状态，所派生的各级超螺旋杆也均为稳定平衡状态。

  受拉扭的直杆因拉力 F₀ 和扭矩 M₀ 的变化而改变平衡状态的个数和稳定性的现象，属于动力学的静态分岔现象。定义 μ = 2p/l² 为分岔参数，则 μ = 1 为分岔点。图 3 为 ϑ 的稳态值 ϑ_s 随 μ 变化的分岔图，分别以实心和空心曲线表示稳定和不稳定平衡状态。

图3   ϑ 的稳态值ϑ_s 随μ=2p/l² 变化的分岔图

参考文献

     [1]  刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京：高等教育出版社，2016

               （改写自：刘延柱. 压杆失稳与Lyapunov稳定性. 力学与实践，2002，24(4): 56-59）