蛇无足而能行走且行进很快。这种独特的行走方式与蛇的生理构造有关。蛇没有胸骨，躯体可以自由弯曲。蛇全身披着一层角质鳞片，肋骨向前移动可使腹部的鳞片翘起摩擦地面产生推进力。关于蛇行的原理早在上世纪30年代就已有研究论文发表^[1]。近年来由于蛇形机器人技术的兴起，对蛇行运动的仿真研究和理论分析的文献就更为丰富^[2,3]。

蛇有多种行进方式，蜿蜒运动是最典型的一种（图1）。当蛇颈左右摆动，带动身体向两侧弯曲，形成一个类似正弦曲线的波形向后方传播时，蛇身就能快速向前移动。根据动力学基本规律，蛇必须在外力推动下才能前行，这外力只能来自鳞片与地面的摩擦力。问题是侧向滑动引起的侧向摩擦力如何能产生向前的推动力，似有必要作些探讨。

图1  蛇的蜿蜒运动

蛇的蜿蜒运动过程也就是弹性波沿蛇身的传播过程。在蛇形机器人的研究中，描述蛇身弯曲形状的数学模型称为蛇形曲线（Serpenoid curve）。以蛇的头部 O 为原点，沿蛇身建立向尾部延伸的弧坐标 s，理想化的蛇形曲线是一条以 s 为自变量的正弦曲线^[3]

                                                                                                            ⁽¹⁾

其中 θ 为蛇身相对行进方向的倾斜角，L 为蛇身长度，k 为谐波数。为分析蛇的行进过程，建立随 O 点平动的参考坐标系 (O-xy)。其中 x 轴指向行进路线的后方，与弹性波传播方向一致，y 轴为沿行进方向右侧的水平轴。则蛇在 (O-xy)坐标系中的形状可用式(1)的积分表示:

                                                                     (2)

^{为使数学表达更简明，也为表达蛇形曲线随时间的变化过程，将蛇的蜿蜒运动设想为沿  x  轴方向传播的行波。则可以另一种方式描述为}

                                                                                         ⁽³⁾

其中 μ = 2π/λ，λ 为沿 x 轴传播的波长，ω = 2π/T，T 为传递一个谐波的完成时间，也就是蛇身上同一点往复振动的周期。公式(2)和(3)都是对蛇形的近似描述，两种曲线形状相似而不完全相同，但公式(3)的数学处理要方便多了。

蛇利用侧向滑动获得向前推进力的过程与冰上运动有些相似。当运动员控制冰刀向两侧偏后方滑动时，冰面沿垂直刀刃方向的摩擦力会出现向前的分量推动运动员前进。因此要解释蛇的前进动力就必须考察蛇的侧向滑动有没有类似的现象。

设 v(x,t) 为蛇在任意点 P 处的侧向滑动速度，沿蛇形曲线在 P 点的法线方向（图2）。对于不大的倾角 θ，v(x,t) 沿 x 轴和 y 轴的投影分别为

                                                                                                (4)

其中 v_y(x,t) 可利用蛇形曲线 y(x,t) 对 t 求偏导得出

                                                                                (5)

图2   侧向速度与摩擦力

θ 角近似等于 y(x,t) 的斜率，即对 x 的偏导数：

                                                                                    （6）

将式 (5), (6) 代入式(4)计算 v_x(x,t)，导出

                                                                                  （7）

表明 P 点的侧向速度的 x 轴分量指向行进路线的后方。由于侧向摩擦力 F  与侧向速度 v 相逆，则蛇形曲线上各点的摩擦力均指向前进方向。

  为给出更直观的解释，画出在 t = 0 时刻，x 轴的半波长 λ/2 范围内的蛇形曲线 y(x,0) 和速度曲线 v(x,0)（图3）。可看出按正弦规律和余弦规律变化的蛇形曲线与速度曲线之间存在 90⁰ 相位差。在曲线的两端位移为零，而蛇身相对 x 轴的倾斜角和速度均达到最大值。在蛇形曲线的中点位移为最大值，而蛇身倾斜角和速度均为零。滑动速度过中点后改变方向，在 x 的前半段区间 (0, λ/4) 内，v(x) 与 y(x) 异号，滑动速度与弯曲方向相逆；在后半段区间 ( λ/4,  λ/2) 内，v(x)  与  y(x)  同号，滑动速度与弯曲方向一致。其结果是在 x 的两个区间内，与蛇身垂直的滑动速度均偏向蛇尾，与滑动方向相逆的摩擦力均指向蛇头（图4）。蛇身向左和向右交替向两侧滑动，如同冰上运动员左右脚交替蹬冰的动作，摩擦力就能持续提供向前的动力。于是蛇利用侧向蜿蜒运动产生前进动力的问题就从物理概念上得到解释。

图3　蛇形曲线 y(x) 和速度曲线 v(x)

 图4   摩擦力沿蛇身的分布

  由此可见，蛇无足而能行的特殊能力与位移和速度之间的 90⁰ 相位差有着密切联系。在人类的科技实践中，也不乏利用类似的运动参数之间的相位差达到设计要求的案例。

  例如在博文“陀螺罗经：力学与工程的完美结合”中就叙述过这样的例子。为增加阻尼因素以缩短陀螺罗经到达稳态的时间，必须施加与方位角 α 成比例的阻尼力矩。但方位角 α 的信息无法预先获得，因为 α 的量测基准正是有待罗经建立的子午面。仪器能够测量的只有相对垂直轴的俯仰角 β。利用 α 与 β 的相位差为 90⁰ 的特点，若能施加与 β 成比例的力矩就能起到与 α 成比例的相同阻尼作用。液体摆即具有此特殊功能（图5），它由两只盛有粘性液体形状相同的容器组成，容器间以细管相连通。当连通器的载体倾斜时，液体从高端容器流入低端容器，产生重力矩体现复摆效应。设液面相对容器轴 y 的倾角为 θ，载体的 y 轴相对水平轴 Y 的倾斜角为 β。对于强粘性液体，其流速 dθ/dt  近似与基体倾斜角 β 成正比。由于 θ 与其导数 dθ/dt 之间有接近 90⁰ 的相位差，表明液面倾角 θ 与 β 之间也存在 90⁰ 的相位差。基于此原理，斯佩里陀螺罗经采用液体摆作为摆式罗经的基本构件获得成功就是一个著名案例。

图5   液体摆

  附带提起。据报道，为救援在松软的火星沙层表面上陷入困境的火星车，欧洲航天局打算将挪威科技大学研制的名为 “Wheeko” 的 “机器蛇” 送上火星（图5）^[4]。如能成功，也可算是蛇对空间技术的一大贡献吧。

图5   Wheeko机器蛇

参考文献

[1].   Mosauer W. On the locomotion of snakes. Science, 1932, 76(1982): 583-585

[2].  Ma S, Araya H, Li L. Development of a creeping snake-robot. Int. J. Robotics & Automation, 2002,17(4): 146- 153

[3].   Hirose S, Yamada H. Snake-like robots. IEEE Robotics & Automation, 2009, March: 88-98

[4].   Robot snake on Mars? Serpentine probe could explore red planet. The Christian Science Monitor, 2013.9.18  （参考消息，2013.9.20）

     （改写自：刘延柱. 蛇年话蛇行. 力学与实践，2013，35(5): 95-96

                                    刘延柱. 趣味刚体动力学（第2版），4.6节. 北京，高等教育出版社，2018.9）