1.函数的三要素

函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，其中对应法则是核心。

2.函数的定义域

（1）函数定义域的定义：自变量x的取值范围称为函数的定义域。

（2）确定函数定义域的原则：

        a.对于表格法表示的函数，定义域即为表格中实数x的集合；

        b.对于图像法表示的函数，定义域即为函数图像再x轴上投影所覆盖的实数x的集合；

        c.对于解析法表示的函数，定义域即为使函数解析式有意义的全体实数x的集合；

        d.对于由实际问题给出的函数，由实际问题确定。

（3）确定解析式函数定义域的依据

        a.若解析式形式是整式，则定义域为全体实数；

        b.若解析式形式是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；

        c.若解析式形式是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；

        d.

        e.常见基本函数定义域：对数函数定义域为x大于零；反三角函数定义域为-1到1的闭区间；

        f.对于复合函数，复合函数需满足两个条件：

        （a）x满足内层函数的定义域；

        （b）同时内层函数的值域需在外层函数定义域内部。

3.函数的值域

（1）函数值域的定义：函数中，与自变量x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合即为函数值域。

（2）确定函数值域的原则：

        a.对于表格法表示的函数，值域即为表格中实数y的集合；

        b.对于图像法表示的函数，值域即为函数图像在y轴上投影所覆盖的实数y的集合；

        c.对于解析法表示的函数，值域由函数定义域及其对应法则唯一确定；

        d.对于由实际问题给出的函数，由实际问题确定。

（3）求函数值域的方法：没有固定方法，一般来说，先确定解析式和定义域，再确定值域，常用方法有：图像法、配方法、不等式法、反解法（反函数法）、换元法等。

4.函数的解析式

（1）定义：表示函数的数学表达式，叫做函数的解析式，并不是所有函数都具有解析式；

（2）求解函数解析式的原则：a.求出函数的对应法则；b.在对应法则后标注函数的定义域。

注意：

1. 解析式与对应法则不是同一个东西；

   
   

2. 定义域的表示一般用区间或集合表示，如果确有必要用不等式表示的话，需要加注”满足.......的全体实数“，不能直接说函数的定义域是某某不等式。

典型例题：

1.求函数定义域问题

注意：

（1）”认定“函数形式，常考；

2.求函数值域问题

注意：

（1）对于含有多个绝对值的函数求范围，一般用图像法，如果用解析法，需要注意要讨论。

注意：对于二次函数值域问题，一般先配方，容易得出值域。

注意：对于二次分式函数，常用判别式法求解值域，即将y当作参数，随后演变为方程有解讨论问题。

注意：灵活应用一些基本不等式，同时需要注意基本不等式的条件，正数。

注意：反解法。

注意：通过换元法，换成熟悉的函数，再求解值域。

3.求函数解析式问题

常用问题：（1）求常见熟悉函数解析式，一般用待定系数法；（2）对于给出函数变形等式的，一般用换元法或消元法；（3）实际问题，实际对待。

注意：已知二次函数，一般用待定系数法

注意：这种情况，待定系数法不是唯一方法，换元法亦可，简单即可。

注意：看到一个表达式，首先得先获得它随之而来的取值范围

注意：消元法。