学生氏t-分布无疑是统计学中最著名的抽样分布之一。然而人们往往忽略了学生氏t-分布的局限性并且对其存在一些误解。以下是关于学生氏t-分布的几点澄清：

•       统计量t是样本误差ε与样本标准差s的比值。样本误差ε和样本标准差s是现实世界的物理量，它们都有明确的物理意义：前者是噪声后者是平均噪声的量度。但是两者的比值t 不是现实世界的物理量，没有任何物理意义： t = 噪声ε/平均噪声s 是什么意思?

•       学生氏 t-分布不是误差ε的分布；它是一个扭曲的 z-分布（标准正态分布）（由于 ‘t-转换扭曲’）。也就是说，学生氏t-分布是一个“人造”的、没有物理意义的概率分布。 作为对照，正态分布有明确的物理意义：它被称为‘误差定律’。

•       Scaled and shifted t-分布不是样本均值量的抽样分布。 根据中心极限定理，无论尺度参数σ已知还是未知，样本均值量的抽样分布是 scaled and shifted z-分布（即正态分布）。如果σ未知，无论样本量大小，都可以取σ 的‘点估计’值，从而得到样本均值量的“分布估计”。

•       学生氏 t-分布的数学推导没有问题。但是，由于 ‘t-转换扭曲’，基于学生氏 t-分布进行统计推断（例如t-区间）是错误的。这是方法论的问题。

•       贝叶斯方法采用1/σ先验得到 scaled and shifted t-分布完全是“凑巧”。采用其它先验，例如1/σ²，将得到不同的后验分布。事实上，也有一些贝叶斯学者认为1/σ先验不符合正态分布参数的物理意义，因此否定scaled and shifted t-分布的有效性（例如【3】）。

总之，学生氏t-分布是‘t-转换扭曲’的结果。关于‘t-转换扭曲’，感兴趣的读者可以参阅文献【1，2】。

参考文献

【1】 黄河宁，为什么基于t-分布计算小样本测量不确定度是一个谬误？-3 个悖论及其消解，Researchgate 链接：https://www.researchgate.net/publication/343039726_weishenmejiyu_t-fenbujisuanxiaoyangbenceliangbuquedingdushiyigemiuwu_-3_gebeilunjiqixiaojie

【2】Huang H 2018 Uncertainty estimation with a small number of measurements, Part I: new insights on the t-interval method and its limitations Measurement Science and Technology 29  https://doi.org/10.1088/1361-6501/aa96c7

【3】  D’Agostini G 1998  Jeffeys priors versus experienced physicist priors: arguments against objective Bayesian theory Proceedings of the 6^th Valencia International Meeting on Bayesian Statistics (Alcossebre, Spain, May 30^th-June 4^th)

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