李鸿仪
相容集合论对传统集合论的两大改造
2022-10-7 17:23
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As a result of thousands of years of accumulation, the level of science and technology in the West is certainly much more advanced than that in ancient Greece, but as far as the thinking ability of Westerners is concerned, it is not clear how much worse than that in ancient Greece: compared with the ancients, it is still in an uncivilized and barbaric era. Otherwise, how could there be so many low-level paradoxes and errors in the foundation of mathematics?

 

In the field of mathematics, the king of science, there are so many anti intelligence phenomena. What's more, the humanities? No wonder that human beings, who can benefit from cooperation, have foolishly walked to the brink of mutually destructive nuclear war because of unnecessary mutual confrontation!

摘录:由于几千年的积累,现在西方的科学技术水平,比古希腊当然要先进得多,但就西方人的思维能力来说,比古希腊又不知道差了多少: 相对于古人来说,简直还处于不开化的野蛮时代。 不然的话,数学基础中怎么会有那么多低级的悖论和错误呢?

在科学之王数学领域内竟然都存在着那么多反智现象,何况人文科学?难怪原本可通过合作而互利的人类竟然会因毫无必要的互相对抗而愚蠢地走到了互相毁灭的核战边缘!

相容集合论对传统集合论的两大改造


         李鸿仪

本文所说的传统集合论,既包含康托的素朴集合论[1],也包括公理化集合论[2]。由于以消灭所有悖论为目标的相容集合论[3]与它们都有所不同,所以把它们统称为传统集合论。

1 对集合定义的改造

相容集合论认为,集合的本质是对世界上已有事物的一种分类:将我们所感兴趣的同类事物即具有某种共同性质、内涵相同的事物放在一起研究而已。这些事物称之为元素,用{}括起来的元素则称为集合。

定义1在已存在的事物中找到具有某种性质P的事物,用{}将其与其他事物分开,称为定义了一个集合,{}内的事物则称为元素。若不存在具有P性质的事物,则{}定义了一个空集,可用Φ表示。

需要注意的是,这里强调了作为元素的事物必须是已经存在的事物,这是相容集合论与素朴集合论不同的地方。

从逻辑因果律的角度来看,既然集合不过是对已经存在的事物的一种分类,当然是先有事物,后有集合,所以不可能存在包含自身的集含:在集合A的定义过程中,A还没有定义好,当然并不存在,元素中怎么可能出现不存在的集合A?

 一旦不存在包含自身的集含,所谓罗素悖论,康托悖论当然也就不再存在了。

 所谓的大全集,当然也就不存在了。

 如果连种瓜得瓜,种豆得豆,先有父亲,后有儿子这些最基本的因果关系都不遵守,出现一些充滿反智色彩的悖论并没有什么奇怪。

 在集合论的发展历史上,为了消除罗素悖论和康托悖论,发展出了公理化集合论。然而,根据某剃刀原则,既然只要简单地规定先有元素,后有集合就可以消除这些悖论,就未必一定还要这些相对复杂得多公理化系统。

 公理本身无法证明,可靠性始终存疑。例如,对选择公理就一直颇有争议,本文后面还将证明,所谓无穷公理是不成立的。

 而且至少到目前为止,对任何一个完善的公理系统要求的公理的独立性,自洽性,完备性,在公理化集合论中也并未得到保证。

 甚至,在公理化集合论中,连最基本的集合定义都没有。

 公理不过是命题,而命题描述的是概念之间的关系,如果概念本身的定义都没有,命题的可靠性如何保证?

 所以,为了保证可靠,在相容集合论中,除了并不需要证明的定义外,避免任何无法证明的东西来作为逻辑前提。

除非特别说明,素扑集合论中关于集合的其他定义,例如关于集合的并,交,差,包含,属于,子集,真子集等定义,在相容集合论中均不变。

2 外延可变集合的引入

在传统集合论里,包括集合元素数目在内的集合的外延是固定的,这样,集合的确定性得到了保证,研究也比较方便。

然而,实际事物的数目可能会发生变动。例如一(1)班进来了一个插班生,通常我们还把该班看成一(1)班。再例如,由于不断有人在出生和死亡,以我国人口统计对象为元素的“中国人”这一集合,元素数目每时每刻都在变化。

一般来说,元素数目固定的集合比元素数目不固定的集合要更容易研究,但也不能一概而论:当实际问题的元素数目在变化时,硬要把其固定下来,不但不能正确地描述事实,反而会把本来十分简单的问题复杂化,得不偿失。

以“中国人”这一集合为例,有的人认为可以把已经死去的中国人和活着的中国人以及将来要出生的中国人放在一起,就可以变成一个元素数目固定的集合了。这种做法显然过于牵强附会:谁能准确地知道有多少已故和未出生的中国人?而且,根据先有元素,后有集合的规定,把还没有出生的人口放在集合里面,不但其数量无法预测,而且很容易产生各种逻辑混乱而导致悖论,在相容集合论里是不允许的。再说,又如何保证这三种人加在一起就变成一个元素数目固定的集合了?理由充分吗?如果连最基本的充足理由律都可以不遵守,数学基础还有哪怕一丁点儿的严格性可言?

事实上,对于人口普查来说,永远不可能把活着的中国人变成一个元素数目固定的集合。

数学概念是用来描述事实的,因此数学概念的定义必须尽量靠近所要描述的事实而不是反智地硬凑事实来适应未必合理的数学概念!

为此,必须在相容集合论中引入了集合的元素数目可变的集合,称之为弹性集合。

2.1弹性集合的定义

定义2   元素数目可变的集合称为弹性集合。

以自然数集合

 

N(n)={1,2,3,...n}                                                         (1)

 

为例,当n为自然数变量时,(1)定义了一个自然数弹性集合, 其元素数目为自然数变量n

自然数变量也可以用其他符号例如m表示。

特殊地,当自然数变量n取值某一个确定的自然数时,例如n=n0时,(1)定义了一个元素数目固定的自然数集合。

也就是说,我们平时所说的集合,只是弹性集合的一个特例。这点与变量x与函数f(x)的关系类似: f(x0)不过是x=x0时的函数值。所以不宜把(1)定义的弹性集合看成是一系列集合,而应该把这些集合看成是(1)定义的弹性集合的一系列特例。

由于规定弹性集合的元素数目是可变的,所以不能根据某一个弹性集合的元素数目发生了变化,就认为它不再是原来那个弹性集合了:它还是原来那个弹性集合,只不过是元素数目发生了变化而已。

所以,判断两个弹性集合是不是同一个弹性集合要看两个因素:①是否具有共同的元素的性质,即内涵是否相同,例如,如果是自然数集合,则每一个元素都必须是自然数;②是否具有包括元素数目在内的相同的外延。

符合①的集合称为同内涵弹性集合,符合②称为同外延弹性集合。由定义1,2可见,同外延弹性集合必然也是同内涵弹性集合,但是同内涵弹性集合不一定是同外延弹性集合。

元素数目不同的同内涵弹性集合可存在包含关系,其中一个可以是另一个的真子集。例如,当n<m时,N(n)N(m)的真子集。外延相同的弹性集合可用等号表示其相互关系,例如,当n=m时,N(m)=N(n)

N1={0}∪N(n)时,无论N(n)的元素数目如何变化,N1的元素数目也同步变化:N(n)每增减一个元素,N1也随之增减一个元素,故N(n)始终是N1的真子集。

当然,元素数目的变化不同步时,弹性集合之间的相互关系可能发生变化。例如,如果nn>m变到n<m时,N(n)则从包含N(m)变为被包含于N(m)

传统朴素集合论中的并,交,差运算在弹性集合中仍然成立。仍然以N(n)={123n}N(m)={123m}为例,n>m时,N(n)N(m)={123……n}N(n)-N(m)=={m+1,……,n}N(n)∩N(m)={1,2,3m}

n=m时,则N(n)=N(m)N(n)-N(m)=N(m)-N(n)=Φ,N(n)N(m)=N(n)N(m)=N(n)=N(m)

弹性自然数集合又可分成两类,一类是自然数变量n有上界的弹性集合,另一类是自然数变量n没有上界的弹性集合,后者可表示为

 

N(n)={1,2,3,...n}, 自然数变量nN={1,2,3,....}               (2)

 

其中,N={1,2,3,....}被定义为无限的自然数集合。

22弹性集合的应用

在数学中引入了变量和函数的概念以后,数学发生了翻天覆地的变化:人们不但能描述静止的世界,而且能够描述运动的世界,解析几何、微积分、工业革命随之而生,人造卫星也上了天。

同样,在集合论中引入了外延可变的集合,不但必然大大拓展集合论的应用范围,而且还会避免由于不适当地把实际上外延在不断变化的集合看作外延固定的集合而掉入的各种充滿反智色彩的学术陷阱。试举几例:

2.2.1 对无限的认识

不难证明,由(2)定义的弹性集合N(n)的外延与无限自然数集合N={1,2,3,....}相同:

1)对于任意nN(n),有nN成立;

2) 对于任意nN,有nN(n)成立。

因此,

 

N(n)= N                                                                        (3)

 

由弹性集合的定义可知,(3)的左端是一个有n个元素(n为无上界自然数变量)的弹性集合,而右端被定义为无限的自然数集合,因此,(3)表明,无限的自然数集合N是一个弹性集合!由此可以得出许多重要且似乎是出乎意料的结论:

1)无限的自然数集合N的元素数目可以用一个没有上界的自然数变量n来表示。

由于建立在一一对应基础上的基数等概念实际上是用来研究无限集合元素数目的,现在既然至少对于无限的自然数集合,元素的数目已经可以明确给出,那么无论是基数还是一一对应,实际上已经都末必还有理论意义。所以在相容集合论里,不再专门讨论基数和一一对应等概念。

由于自然数变量虽然没有上界,但其所能取值的任何一个自然数都是有限的,所以,

2)无限的自然数集合的元素数目是有限的,只是该有限的元素数目可以无限地增加,然而,无论如何增加,其数值仍然是有限的,也就是说:

3)无限的本质就是可以无限地增加即没有上界的有限值。

只要承认N为无限集合,不需要任何哲学假设和猜想,也不需要任何永远无法证明、可靠性永远得不到保证的公理, 上述结论都是必然成立的。

上述结论实际上也很好地回答了长期以来一直困惑着人类的问题:究竟什么是无限?可以说本文实际上首次严格地揭示了无限的本质:没有上界的有限值。

例如,每一个自然数都是有限的,但是自然数集合却是无限的,这一个表面的自相矛盾,现在其实都已经不复存在:虽然每一个自然数都是有限的,每一个用自然数变量表示的集合的元素数目也是有限的,但只要其数目没有限制即没有上界(没有最大自然数),则集合就是无限的:这是因为,所谓无限的本质就是“可以无限地增加即没有上界的有限值”。

 每一个人心目中的关于无限的概念其实都有所不同,且未必互相认同,这是长期以来关于无限问题一直争论不休的原因所在。但在本文中,只要承认N是无限集合,至少在实数范围内,其中隐含着的、唯一的无限观就可以被揭示出来,应该没有什么可以再争论的了。

2.2.2可避免因为外延的混淆而造成的各种错误

在传统集合论中,无限集合往往用省略号结束,对于省略号里面的内容则未必进行进一步的考察,而在弹性集合中,由于无限集合并不以省略号结束,因此能相对清楚地把外延表达出来,从而可以有效地避免各种因为外延的混淆而造成的错误。

例如, 弹性集合N(m)及其无限真子集N(n)(n<m),在传统集合论里面,都可表示成{123……}。很容易混淆,在相容集合论中,就不会发生将集合与其真子集相混淆的情形。

用弹性集合的概念,还可以方便地讨论以前很多搞不清楚的问题。

1 假定一个车间每秒生产一个零件,另一个车间每秒生产两个零件,那么无论是有限时间还是无限的时间,零件的编号都可以用两个弹性集合来N(n)N(2n)来表示,其中N(n)N(2n)的真子集。

上述例子已经说明,并不存在一个已经包含了所有自然数的集合:如果N(n)是这样一个集合,则N(2n)却包含了N(n),即N(n)并不是一个已经包含了所有自然数的集合。同理,如果N(2n)是这样一个集合,则N(4n)却包含了N(2n),即N(2n)也不是一个已经包含了所有自然数的集合......

所以,已经证明,并不存在无穷公理所宣称的包含所有自然数的集合。对于已经习惯了传统集合论的人来说,上述结果似乎显得不可思议,其实却十分简单:

(3)左端可知,自然数集合的元素数目是一个没有上界的自然数变量,是一个外延不断增加的弹性集合,而一个已经包含了全体自然数的集合,既然已经把全体自然数都包括进去,外延就已经固定,两者不可能是同一个集合所以,(3)的右端不可能是一个已经包含了全体自然数的集合,即自然数集合N不可能是一个已经包含了全体自然数的集合,而是一个与左端一样的弹性集合。

上述例子证明了,把不断在变化的弹性集合视作固定集合。并不会把它真的变成固定集合,而只会导致各种自相矛盾。

上述例子也证明了,把在不断进行的无限过程视作已完成了的无限过程,也并不会真的把它变成已完成了的无限过程,也只会导致各种自相矛盾。

上述例子还证明了公理的不可靠性: 用公理的形式宣称存在某一个实际上并不存在的集合是没有意义的。例如,如果我们用”鬼神公理”宣称存在着一个包含所有鬼神的集合,这个集合不会因此就存在了。

总之,科学必须是实事求是的,不能把愿望当事实,更不能用愿望来扭曲事实,否则,必然会掉入各种充滿反智色彩的学术陷阱。

2 N1={0}∪N无法与其真子集N一一对应。

康托认为N1N可以通过“双射”函数n1=n-1一一对应:

  N1    0,1,2 ....

 N     1, 2,3  .... 

与(3)类似,不难证明,自然数变量nN={1,2,3,....}

 N1={0}∪N={0,1,2,3……n}                                4

{n1|n1=n-1nN}={0,1,2,3……n-1}             5

虽然在传统集合论中,(4)(5)的右端都可以表示为很容易混淆的{0,1,2,3……},但是在相容集合论里,两者却并不相同:(4)-(5)≠{}!

 由于(5)的元素数目与N相同,真正能与N一一对应的是(5)而不是(4),康托混淆了集合(4)(5),从而“顾头不顾尾”地得出了无限集合(4)可以与其真子集N一一对应这一明显反常识、反智的错误结论。

明确了不存在唯一的自然数集合后,对角线问题也变得非常简单:

3 可以存在着两个不同的自然数集合N(n)N(m),分别与小数的位数n和小数的个数m=2n>n一一对应。所谓对角线不过是用n位的对角线(见图1)证明了小数b的存在,从而小数的个数﹥n而已。由于实数的个数m本来就远远大于n,所以对角线什么也没有证明,更没有形成任何矛盾:所谓的矛盾不过是反智地混淆了nm的区别而已。

康托定理和区间套方法也存在类似问题。以康托定理为例,自然数集合N(n)的子集虽然不能与N(n)一一对应,却可以与另外一个自然数集合N(m)一一对应,式中m=2n

对角线3t.png

3 总结和讨论

本文叙述了以消灭所有悖论为目标的相容集合论对传统集合论的两大改造: 改进了集合的定义,并引入了弹性集合的概念,从而揭示了传统集合论中存在的极具反智色彩的一些典型错误。

由于几千年的积累,现在西方的科学技术水平,比古希腊当然要先进得多,但就西方人的思维能力来说,比古希腊又不知道差了多少: 相对于古人来说,简直还处于不开化的野蛮时代。 不然的话,数学基础中怎么会有那么多低级的悖论和错误呢?

在科学之王数学领域内竟然都存在着那么多反智现象,何况人文科学?难怪原本可通过合作而互利的人类竟然会因毫无必要的互相对抗而愚蠢地走到了互相毁灭的核战边缘!

MAN和林益对本文提出了宝贵的意见,在此表示感谢!


[1] 康托.超穷数理论基础,第二版,商务印书馆,2016

 [2]郝兆宽,杨跃,集合论,对无穷概念的探索,复旦大学出版社,2014

 

 [3]李鸿仪相容集合论初探

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