无限观视角下的基数和元素数目

             李鸿仪leehyb@139.com

1 无限集合元素数目的客观存在性

有的数学家认为，对无限集合来说，数学上只有基数的概念，没有元素数目的概念。

这并不准确。

这是因为，既然有集合，就必然有集合的元素，既然有集合的元素，怎么可能没有集合元素的数目呢，有限无限都必然存在元素数目这一概念，只不过无限的时候数不清楚而已。

 数不清楚不等于不存在，比如说我们甚至不知道暗物质是什么，能因此说它不存在吗？不能把知道与否与存在与否这两个不同的概念混为一谈！

 无限集合的元素数目这个概念我们其实一直在用。比如说当我们说无限集合的元素数目是无限的时候，这时候已经用到了无限集合的元素数目这一概念了，否则这这句话主语都不存在了，这句话又如何成立？

  而且，尽管我们并不知道无限集合元素数目的绝对值是多少，但是我们却可以比较它们的相对值。比如我们可以说外延相同的两个无限集合的元素数目是相同的，实际上已经在比较两个无限集合的元素数目了，这其实也证明了无限集合的元素数目是存在的:如果不存在，比较的是什么？

  再比如，一一对应虽然有多种定义方法，但是康托的原始定义为:”如果按照某种法则，它们彼此之间能够建立一种关系，使得一个集合中，每个元素有且仅有一个另一个集合中的元素与此对应。（【1】p64）”，根据该定义，只有当两个集合的元素数目精确相等时，才能够建立一一对应：以集合A和B为例，如果A，B的元素数目不同，怎么可能做到A(或B)中的每一个元素在B(或A)中都有一个且只有一个元素对应？

  而且，康托在这里通过具体例子说明这种一一对应关系和采用什么样的对应法则是没有关系的（【1】p64）：例如 1→1，2→2与1→2，2→1的对应法则虽然不一样，但最后都是一一对应。

总之，无限集合元素数目这一概念是存在的，既然存在，我们就可以对它进行研究。这正是数学的任务。

2无限集合元素数目的定义

我在上一篇博文中说(大意)，对于有限集合来说，元素数目当然就是计数的结果，对于无限集合来说，没有理由认为这个定义是不成立的，只是计数的结果无法用一个确定的自然数来表示而已。其实，康托的基数概念与此定义并无不同，理由如下：

康托是这样定义基数的（【1】p63）：

每一个集合都有一确定的“势”，也称为该集合的“基数”。

我们用M的“势”或“基数”来命名这样一个一般概念，它由我们的下述思维活动所产生，即设想从集合M中抽象掉其中所有元素m的具体性质及其给定的序关系后还余下的东西。

不管后人是不是承认或理解，康托关于基数的原始定义就是这样的。

不难想象，任何一个集合，一旦抽去了元素的性质和序关系，所有的元素就都只能用一个相同的符号来表示，这时候，所有集合的区别就在于且仅仅在于其元素数目的不同，因此所谓的”余下的东西”即基数就是元素数目！

 康托用一一对应来比较两个集合的基数是否相等，如前所述，根据他关于一一对应的定义，只有当两个集合的元素数目精确相等时，才能够建立一一对应，这时候也称之为基数相等。

 这里可以再次看到，所谓基数，其实就是元素数目！

 既然如此，所谓基数和元素数目，不过是叫法不同而已，并没有任何本质的区别。

 至少到目前为止，康托关于基数的理论是自洽的，把基数看成元素数目也不会造成任何矛盾。

 3 康托的错误及其修正

    根据真子集的定义可知，任何集合减去其任意的一个真子集，得到的差集非空，即差集的元素数目大于0，所以任何集合的元素数目是必然比其真子集多的，否则就无法解释为何差集元素数目不等于0即差集非空？

  这本来是一个非常简单清楚的事实。

     根据康托一一对应的定义可知，只有元素数目相同的时候才能进行一一对应，因此无限集合与其真子集之间应该是不可能形成一一对应的。

然而，康托竟然在无限集与其真子集之间找到了一个所谓的”双射”函数，然后一切都乱套了！

以集合N₁={0}∪N与其真子集N={1,2,3,....},为例，康托在N₁={0,1,2,3....}和N之间

N： 1， 2，3,,,,

N₁：0,  1,    2.....

建立了映射f:N→N₁，即1→0，2→1，3→2......并认为这是一个一一对应的映射。

康托实际上以为只要开头几个元素排好就可以一一对应了，两个省略号里面的元素必然可以一一对应，至于为什么必然可以一一对应，他既没有讲出任何理由，也没有进行任何仔细的考察。

这种学术态度实在是太随意、太不认真了！

为了考察两个省略号里面的元素是否真的可以一一对应，我们不如设法把省略号里面的元素全部写出来看一下。为此，不妨像数学分析一样，定义一个趋于无限的正整数变量n,这样，n→∞时，

若设N={1,2,3,....n}, 则N₁={0,1,2,3...n}                              (1)

 注意，由于N₁={0}∪N里的真子集N与上式中的N={1,2,3,....n}是同一个集合，所以只能用同一个正整数变量,否则的话，在n趋向于无穷的过程中，两个N就不是同一个集合，违反了同一律， 这是康托错误的逻辑根源。例如，可以将上式写成

若设N={1,2,3,....n-1}, 则N₁={0,1,2,3...n-1}                        (2)

或

若设N={1,2,3,....n+1}, 则N₁={0,1,2,3...n+1}                       (3)

但不能写成

若设N={1,2,3,....n}, 则N₁={0,1,2,3...n-1}                            (4)

或

若设N={1,2,3,....n+1}, 则N₁={0,1,2,3...n}                           (5)

否则就违反了同一律。                     

这样, 由（1）可见，N与N₁是不可能一一对应的: 由于任何一个自然数都有后继数，所以n趋向于无穷大的过程是永远不可能结束的，我们只能根据n=1，2，3……一个一个地研究，而无论n多么大，N₁中的n在N中永远没有可以对应的元素！

 由（2），（3）也可得到相同的结论。

 有人可能会问: N₁中的n为什么不可以由N中的n+1来对应？

 这其实是在用（5）在讨论了，如前所述，（5）违反了同一律，不能成立。

 同理，用（4）讨论也违反了同一律。

 如果认为n是一个变量，就可以像（4）（5）那样在同一个集合中取不同的变量值，违反了同一律，是不严格的。

还有多种方法可以证明上述映射不是一一对应。

例如用应该是我首创的一一对应的验算方法^【2】发现，

n→∞时，应该等于N₁的集合｛x|x=n-1,n ∈N｝={0,1,2,....n-1},并不等于N₁={0,1,2,3...n}

n→∞时，应该等于N的集合｛x|x=n+1,n ∈N₁｝={1,2,....n+1},并不等于N={1,2,3,....n}

从上面的分析可以看到，康托之所以发生错误，是因为他想当然地以为省略号里面的元素总可以一一对应，其实不然。要保证省略号里面的元素可以一一对应，是需要满足一定条件的，比如，如果省略号里面的元素恰好都是同一个无限集合的元素，那当然是可以保证一一对应的。例如

设N={ }∪N，与N₁={0}∪N比较，由于省略号里面的元素都是N里的元素，N与N当然可以一一对应，但｛0｝与｛ ｝不能一一对应，所以易证N₁={0}∪N与其真子集N不能一一对应。

我的贡献是用上述多种方法证明了无限集合与其任何一个真子集都不可能一一对应，这样一来，基数方面的所有逻辑漏洞就都没有了，且恢复了基数就是元素数目这一原来就成立的事实。

当然，相关的基数、无限序数、无限数∞等的运算规律要全部推倒重来！例如，所有关于无限和有限有本质不同的说辞和观点，比如说∞=∞+1等就都不再成立， 且不再有任何理由可以认为，适用于有限集合元素数目的四则运算等规律对于无限集合的元素数目不再成立。

4 与无限观的关系

可见，引入了数学分折中趋于无限的正整数变量n后，不但在本质上把数学分析中的无限观和集合论中的无限观统一了起来，消除了两者各说各的尴尬局面，同时使得集合论不但能研究外延确定不变的集合，而且还可以研究外延在不断变化的集合，我称之为弹性集合^[3]，大大拓展了集合论的应用范围。

更重要的是，康托，希尔伯特等的各种错误也因此一目了然了:

比如N₁和N'虽然都可表达为{0,1,2……}但实际上并不是同一个集合:n→∞时，如果设N={1，2，3,…,n}，则N₁={0，1，2，3,…,n}，而N' ={0，1，2，3,…,n-1}，与N₁不是同一个集合。同理，N和N₂={x|x=2*n-1,n∈N}∪{x|x=2*n,n∈N}={1，3，5……，2，4，6......}={1，2，3……}，虽然都可以表达为{1，2，3…}，但也不是同一个集合：n→∞时，设N={1，2，3……n}，则N₂={1，2，3……2n-1，2n}，不是同一个集合。

既然N和N₂不是同一个集合，就必须承认，不存在一个包含所有自然数的集合，比如，如果N是一个包含所有自然数的集合，那么N₂又是什么？所以，所谓包含所有自然数的集合，不过是幻想出来的东西而已，没有任何严格的学术意义。

 这里要注意，由于并不存在唯一的自然数集合，因此对于不同的自然数集合就要加以严格的区分，例如，n→∞时，如果设N={1，2，3,…,n}，则N^**={1，2，3,…,n+1}就是比N多了一个元素的另一个自然数集合，N₂={1，2，3,…,2n-1,2n}则是比N多了一倍元素的另一个自然数集合，都不可混淆！

 对N^**={1,2,3,…,n+1}，n→∞，作变量代换n'=n+1，∞'=∞+1后，也可写成N^**={1,2,3，…，n′}，n′→∞′

 同理，对N₂={1，2，3,…,2n-1,2n}，作变量代换n"=2n，∞"=2∞后，也可写成N₂={1,2,3，…，n"}，n"→∞"

 这里要注意，推导的时候，我们只能令n等于1,2,3……，一步一步地推，比如推到1的时候集合内只有1，没有2，推到2的时候集合内有1,2但没有3……而只推到2的时候，如果把3也看作集合元素，就违反了同一律:这时的集合究竟是推到2的集合？还是推到3的集合？

 但人的思维是可以无限加速的(当然，速度再快，同一律还是要遵守的)，比如说推到3和推到3万亿所需要的时间是一样的，因此，我们完全可以假定在大脑中每增加1个自然数所需要的时间是0秒，这样，时间>0时(比如说1秒时)我们就无法用任何一个自然数来表示集合内自然数的数目了，一旦达到这种状况，我们就可以认为已经达到了无限，这时可以用∞来表示无限集合元素的数目。

 然而，时间并不会停止于1秒，而是2秒，3秒……永远地增加下去，用∞来表示的无限集合元素的数目也在不断增加，所以科学的无限观是无限可能达到但永远不会完成，也就是说，只能用弹性集合来完整、严格地研究无限集合，而传统的外延确定的集合，最多只能用来研究无限过程的某一个人为静止的一刹那，比如说1秒时刻的状态。

  从这里也可以再次看到，所谓包含所有自然数的集合是永远不可能存在的，而N和N^**的区别在于且仅在于在任何一刹那，N^**的元素数目都比N多了一个；而N和N₂的区别在于且仅在于任何一刹那N₂的元素数目都是N的两倍......

  不过，人的思维虽然可以无限加速，但是实际的计算未必如此。比如说圆周率的计算，我们不可能做到只需要零秒就增加圆周率的一位小数，对这一类过程，就永远只能接近而不能达到无限，更不要说完成无限了。

把各种不同的无限现象混为一谈且顾此失彼，是无限观至今未能科学化的原因。

后记 

由于我的各种观点与传统观点都大不一样，所以必然会被习惯于传统观点的保守人士比如薛问天等人批评，这很正常。可能任何一个新的思想的产生，都会有这个过程。虽然他们反对我的观点在我看来都是错的，与他们的争论也耗费了我大量的时间，但这些争论也逼使我把问题说得更清楚。

从这点来说，他们或许对我的观点的形成有一定的积极意义。

[1] 康托.超穷数理论基础，第二版，商务印书馆，2016

[2]李鸿仪 一一对应的验算

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1352738

 [3]李鸿仪相容集合论初探

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

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