摘要:给出了一种比较无限集合大小的新方法，证明了自然数集合、偶数集合和奇数集合都不是唯一的，且不 存在一个比自然数集合更大的集合。
Abstract: A new method for comparing the size of infinite sets is given, and it is proved that the set of natural numbers, the set of even numbers and the set of odd numbers are not unique, and there is no set larger than the set of natural numbers.
1 引言
众所周知，集合论用基数(势)这一概念来对集合的大小来进行比较【1】。
通常把两个集合的元素能否一一对应（双射）来判断两个集合是否等势，但这种方法天然存在着逻辑缺陷。这是因为：
命题1集合A,B存在双射的充分必要条件是集合A,B的元素数目相等。
证明：充分性证明：A,B的元素数目相等时，任何单射显然都是满射；必要性证明：若集合A,B的元素数目不相等，不妨设集合A的元素数目少于集合B，则B中必有一部分元素不在A→B的单射所形成的像中，即A→B的单射不是满射。证毕
上述条件对于有限集合显然成立。对于无限集合，只要知道其元素数目，当然也成立。然而，人们通常不一定知道两个无限集合的元素数目是否相等，这样就必然会陷入一个逻辑怪圈：如果不知道A，B的元素数目是否相等，怎么保证一定能建立双射？相反，如果已经知道了它们的元素数目是相同或不相同的，又有何必要再来研究它们之间的映射关系呢？
有人可能会天真地认为，不管元素数目是不是相等，只要能建立双射，命题1自然满足。
然而，康托却给出了一个反例：任何集合与其真子集的元素数目显然是不同的，根据命题1，在它们之间是不可能建立双射的,但康托却在它们之间建立了“双射”。
虽然这种 “双射”其实并不是双射，但是要看出其中的错误是需要一定技巧和眼光的，对于习惯于只看列出来的少数几个元素的人，不一定具有该眼光（见文献【2】及其评论【1】）。事实上，集合论已经问世一百多年，但该错误至今还没有得到正式的纠正，甚至在很多教材上，还把这个错误关系作为无限集的定义。
为了保证绝对的严格性，相容集合论【3】不再采用一一对应和势的概念，而直接采用元素数目这一简单且直观的概念来对无限集合的大小进行比较。由于对无限集合来说，其元素数目是不能用自然数来表示的，所以本文用无限数∞来表示。需要注意的是，以下将会表明，∞是一个可以参与运算的数而不仅仅是一个表示发散的符号，其定义、性质和一些应用则可见附录1。
2全新方法比较无限集合大小
定义1 如果描述某一个数学对象的量可以增加，且其增加可以是无上界的，则称该量可以是无限的，如果该量的增加已经无上界了，则称该量已达到了无限。
以n→∞时，1/n 的极限为例，如果 1/n 不等于0，设 1/n=x，则 n=1/x，意味着n只能增加到1/x，并没有达到“增加无上界”即没有达到无限，∴ 如果 n 能达到无限，lim(1/n)=0，即1/∞=0。
为了比较无限集合元素数目的多少，相容集合论通过对集合进行各种运算操作，以便清楚地观察各种集合之间的大小关系。本文用更加简单的一种操作方法来取代上述运算。
本文假定读者对于计算机中的复制、粘贴和剪切这些操作的意义都是清楚的，所以不加定义地使用这些概念。例如
例1:复制非空集合A的元素，将其粘贴到空集B，则B=A, 即相当于令B=A。
例2:剪切非空集合A的元素，将其粘贴到空集B，则B=原A，A={}，即相当于先令B=A，再令A={}。
例3 复制集合A内的全部∞1个元素，粘贴到具有∞2个元素的集合B，且A与B无交集，则得C=A∪B的元素数目为∞1+∞2。
由于在复制粘贴过程中，任何一个元素都不可能无缘无故地消失，也永远不可能凭空冒出一个原本没有的元素，即元素不生不灭，这样，例3实际上证明了无交集时，元限集合的元素数目∞是具有可加性的。因此，在复制粘贴过程中，能够自然而然地把原集合的元素数目等性质也复制粘贴到新的集合，这样就可避免用顾头不顾尾、粗枝大叶、并不可靠的映射方法来比较集合的大小，从而大幅提高了推导的简洁性和可靠性,使得各种错误毫无隐身之处。
比如，很容易证明∞+1>∞:
设集合A，B的元素数目分别为∞和1，且A与B无交集，复制集合A的元素到B，则得C=A∪B的元素数目为∞+1>∞。
如果认为∞+1=∞，由于元素不生不灭，似乎要先证明C=A∪B=A，而这是做不到的。而且，作为一个可以参与运算的数∞，如果∞+1=∞，两边减去∞后， 就会导致1=0这一错误。
为了便于讨论无限集合，假定剪贴板的容量是无限的。
同时还规定复制、剪切、粘贴等操作都是不需要时间的。这样，不管是传统的集合，还是正在变化中的可变集合【3】，都可用本文的方法进行研究。对第二种类型的集合，本文的方法可类比于用高速摄像机对变化着的集合进行拍照取样。
有了以上准备知识，就可以开始正式讨论了。
定义2 由自然数1，2，3...为元素的无限集称为自然数集合。
命题2 自然数集合不是唯一的。
证明:复制某自然数集合N中的偶数集合，将每一个元素除以2后再粘贴到空集N1，则由于元素数目显然不同，N1是不同与N的自然数集合。证毕
命题3不同的自然数集合的元素数目不同。
证明: 设上述集合N的元素数目为∞，则N1的元素数目为∞/2。证毕
由于N1只有N的一半元素，所以实际上N1是N的一个真子集。
从上述例子还可以看出，无限数的一半仍然是无限数，这一点与附录1中无限数的性质4是一致的。
类似地，可以证明以下命题:
命题4任一自然数集合中的偶数真子集的元素数目是该自然数集合的一半。
命题5 将一个自然数集的每个元素乘以2后得到的偶数集合D，其元素数目与该自然数集合的元素数目相同。
由命题4，5可见，与自然数集一样，偶数集合也不是唯一的。这样，所谓伽利略悖论就不存在了【4】：根据命题1，元素数目为∞的自然数集N可以与元素数目也为∞的偶数集合D一一对应；而元素数目为∞/2的自然数集N1可以与元素数目也为∞/2的偶数集合D1一一对应。其中，D1是命题4中复制自然数集合N中的偶数得到的偶数集合。而元素数目为∞的自然数集合(或偶数集合)是不可能与元素数目为∞/2的偶数集合(或自然数集合)一一对应的。所以，康托实际上只考虑了至少四种情况中的一个，其思维过于简单化了。
用命题2～5的方法，实际上还可以得到元素数目为∞/4，∞/8……的自然数集合或偶数集合。由无限数的性质4，5可见，上述过程至少可以进行任意有限次。
同理可证，奇数集也不是唯一的（略）。
将命题2中的元素数目为∞的集合N的每一个元素复制后再减0.5，然后粘贴到空集得N2={0.5,1.5……}，然后令N3=N∪N2并排列成N3={0.5，1，1.5……}，每个元素乘2后得N4={1，2，3……},是一个元素数目为
2∞>∞ （1）
的自然数集合。
可以再次看到，自然数集含不是唯一的。
该操作每进行一次，元素数目加倍，n次操作后元素数目为2n∞，∞次操作后为
2∞∞>2∞>∞ （2）
由此可证：
命题6，不存在一个已经包含了全部自然数的自然数集合。
证明(反证法):假定存在这样一个自然数集合，并用∞表示该自然数集合的元素数目，则由于该集合已经包含了全体自然数，所以不可能再增加新的自然数，也就是说该自然数集合的元素数目不可能大于∞。但由（1）（2）可知存在元素数目大于∞的自然数集合，矛盾，证毕
由命题6可见，我们平时所说的自然数集合，其实都是部分自然数组成的无限集合。这一点其实很容易理解:既然自然数的元素是可以永远生成下去的，怎么可能在一个集合里把它全部包括进去呢？另外，只要自然数可以不断地生成，就不存在一个有限的自然数可以表示它的元素数目，所以只能用∞表示其元素数目。
由于2∞∞也是自然数集合的元素数目，同理，2∞*∞*也是自然数集合的元素数目，式中∞*=2∞∞，......
为了讨论方便，不妨将元素数目为∞的自然然集称为1级自然数集；将元素数目为2∞∞的自然然集称为2级自然数集；将元素数目为2∞*∞*的自然然集称为3级自然数集.....,
显然，级别越高，自然数集合的元素就越多，而且这个级别没有上限，也就是说自然数集合的元素数目没有上限。
由此可见，自然数集合的元素数目足可容纳任意“大”的无限集合。例如，假定二进制小数的位数为∞，则其小数的个数为2∞，与自然数集合庞大的诸如以2∞*∞*表示的元素数目3级自然数集合相比，2∞个元素不过是沧海之一粟，当然可以纳入无限多的自然数集合之一。所以，
命题7不存在不可数集合。
证明 假定存在不可数集合，则该集合的元素数目必须大于任何级别的自然数集合，与自然数集合的级别没有上限矛盾，证毕。
因此，证明实数不可数的证明注定是错的。
例如，所谓对角线证明中列出了实数
a1，a2，a3...... （3）
其中
a1=0.a11a12a13a14...
a2=0.a21a22a23a24...
a3=0.a31a32a33a34..
......
其表示小数个数的行标和表示小数位数的列标，显然都是自然数，因此各自组成的集合当然都是自然数集合，但是这两个自然数集合显然是不一样的，只要承认自然数集合不是唯一的，并不会产生任何矛盾：
设（3）中小数个数为∞1，小数位数为∞2，易证∞1>∞2（以二进制小数为例）:
证明:设小数位数为n，则二进制小数的个数为2n，n→∞时∞1/∞2=Lim(2n)/Lim(n)=∞﹥1，证毕
由于对角线的行号和列号严格一致，所以形成了一个边长为∞2的正方形（见图1），而康托根据对角线找到的实数
b=0.b1b2.....其中，bk≠akk(k=1,2,3...)
其位数与小数的位数恰好相等，也只有∞2（见图1）个：
图中的横坐标表示小数的位数∞2，纵坐标表示小数的个数∞1。从图1可以看到，b虽然不是所列出来的虚线上的∞2个实数之一，但完全可以是（3）所列出来的∞1个实数之一，并没有任何矛盾！
所谓矛盾，不过是粗枝大叶的思维习惯的一种表现而已。
更具体的叙述可见文献【5】。
3 小结和讨论
本文用直观，清楚的元素数目概念来比较集合的大小，以替代传统集合论的基数概念。同时本文用一种直观的，类似于科学实验的方法来定义和研究各种集合。
本文发现，自然数集合并不是唯一的，不同级别的自然数集合可以有不同的元素数目，而且该级别没有上限，所以不存在一个元素数目比任何级别的自然数集合更多的集合。
另外，无限虽然可达。然而，各级自然数元素数目的存在又意味着，至少对于自然数集合，达到无限并不意味着无限已经结束。无限是永远没有终点，不可能完成的。
事实上，由“增加无上界”这一无限的定义可见，如果无限可以完成，就意味着不能再增加，直接与无限定义矛盾。
所以，已经完成了的所谓全体自然数集合或全体实数集合，实际上都是为了简化问题而对数学事实的一种不客观的定义，实际上都是不存在的。
当然，定义甚至承认这些概念，都没有什么不可以，但这些概念是否有意义，就是另外一回事了。比如说我们当然可以定义一个所有鬼神组成的集合，但不等于这个定义一定是有意义的。
如果为了方便，一定要采用全体自然数集合这一定义，当然也可以进行讨论，但要时刻警惕讨论的结果是不是可靠？
致谢 本文发布后，群友MAN和天长地久对本文提出了一些宝贵意见，使得本文的内容变得更为充实，在此谨表谢意。
参考文献
[1]康托.超穷数理论基础[M](第二版). 北京：商务印书馆, 2016.
[2]无限集与其真子集之间的映射
https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1339685.html
[3]相容集合论初探
https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html
[4]伽利略悖论及其消解
https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1328306.html
[5]自然数集合不唯一的一个例证（修改稿）
https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1336677.html
附录1 无限数的定义和性质
数学问题通常在实数域上进行讨论。实数域可以表示为开区间(-∞，∞)， 由于是开区间，在实数域内，我们只能讨论趋于无限而不能讨论达到无限的情况，这对于讨论实际问题并不方便：在实际情况中，有时候无限是很容易达到的。以1÷3为例，我们只要计算了最初几步以后，即得到了一个任意位小数都是3的无限小数0.333......，这时计算显然已经达到了无限。在求极限时，我们也只需要有限的几步就可以得到本来需要无限步才能达到的极限。
为此，我们希望把我们讨论问题的区间定义为闭区间[-∞，∞]，这样，我们不但能讨论趋于无限，而且能讨论达到无限的情况了。为此，我们就需要对∞作出严格的定义。
定义1称比任何实数大的数为无限数，用∞表示，即"a∈R, ∞> a。
性质1 ) ∞不属于R。
证明 若∞∈R，即$a=∞,与定义1矛盾，证毕。
性质2) "a∈R，a/∞=0
证明：假定a/∞≠0，即$x∈R,使得a/∞=x≠0，则∞=(a/x)∈R，与性质1）矛盾，证毕。
这里要注意的是，哪怕x是一个变量或传统意义上无穷小量，只要x≠0，以上证明都成立。
显然，对于任何实数，它的倒数都不可能等于零。所以性质2）是无限数区别于实数的一个重要特点。
性质 3)无限数∞不是唯一的。
证明：假定无限数是唯一的，则所有的无限现象都只能用同一个无限数来表示而不可以有任何例外，但实际存在例外：对二进制无限小数，小数位数和小数个数都是无限多的，因此都可以用无限数表示。但每增加一位小数，小数个数就会会翻倍，因此其无限数不可能相等。证毕。
性质 4) 设∞，a分别表示无限数和有限数，则∞+a，a×∞，∞×∞都是无限数。
仅证明∞+a是无限数：∞+a=limnn→∞(n+a)，等式右端发散，为无限数、
不过，根据性质3，这些运算前后的无限数可以不同，所以不宜用同一个符号表示。仍然以∞+a为例，可表示成，∞+a=∞1
性质 5) 对无限数∞1和∞2，∞1/∞2∈[0, ∞].
例如，若∞2=∞12，则∞1/∞2=0；若∞1=∞22，则∞1/∞2=∞1；若∞2=a∞1，则∞1/∞2=1/a.
无限数的一些应用见《无限数的定义和应用》https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1337777.html
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