“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。如果某一理论的公理和推理在原则上是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论，或这个理论在逻辑上不能自洽。

朗之万方程（Langevin Equation）是《统计物理学》涨落理论的基本方程。《统计物理学》分别用解析法和统计法对朗之万方程进行求解，但是却得到了两个相互矛盾的结论。

1908年，法国著名物理学家朗之万根据牛顿第二运动定律，建立了描述单个布朗粒子随机运动的动力学方程（随机微分方程）：

式中m为布朗粒子的质量，γ为液体阻尼系数，F(t)为液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。

1、统计法求解

统计法通过计算大量布朗粒子在同一时刻位移的统计平均值来求解朗之万方程，得出了布朗运动位移公式：

式中λ_x为布朗粒子在x轴方向上的平均位移（均方根位移），D为液体扩散系数。

上式表明：布朗粒子位移与时间的平方根成正比。

如果上式成立，则会得出布朗粒子瞬时速度无穷大（路径处处不可导）的荒谬结论，与物理学布朗运动瞬时速度实验结果完全不符。

2、解析法求解

解析法首先忽略朗之万方程左边的惯性项，然后假设随机力F(t)为白噪声，最后得出了“布朗运动瞬时速度为白噪声”的结论，即

式中n(t)为平均功率为N₀的白噪声。

“布朗运动瞬时速度为白噪声”的结论与物理学实验结果相符。

假设x(0)=0，由上式可直接推出布朗粒子在t时刻的位移：

由此可计算出布朗粒子在[0，t]区间的平均速度为：

因此，布朗粒子在t时刻的位移x(t)可改写为：

上式表明：布朗粒子位移与时间成正比，与《牛顿力学》的结论完全一致。

因此，《统计物理学》用解析法和统计法对朗之万方程进行求解，得到了两个相互矛盾结论，出现了明显的逻辑悖论（图1）。

图1 《统计物理学》逻辑悖论

3、统计法逻辑错误原因分析：

统计法违反同一律，用描述大量布朗粒子集体行为的统计参数（标准差）来描述一个布朗粒子的个体行为，这就如同用温度来描述一个分子的动能一样荒谬，势必会得出与《牛顿力学》相悖的结论。

参考：

[1] 苏汝铿. 统计物理学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

[2] 张太荣. 统计动力学及其应用[M]. 北京:冶金工业出版社，2008.

[3] 高宏.质点随机运动学与动力学[J].广西物理,2021,42(02):26-30.

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