高宏
非线性直线方程典型应用:布朗运动
2024-5-27 19:38
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非线性直线方程描述的是“瞬时速度=白噪声”的连续随机运动现象,这类随机现象在自然界和人类社会实践活动中广泛存在,如布朗粒子的无规则运动、陀螺随机游走误差、股票价格波动和表面微观轮廓等等。

1905年,爱因斯坦首先对布朗运动进行了定量研究,并认为布朗运动是宏观扩散现象的微观表现形式。爱因斯坦假设“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”,推导出了布朗粒子扩散方程:

公式3.png

式中f(x,t)t时刻在位置x处的布朗粒子浓度(单位体积粒子数)D为扩散系数

爱因斯坦求出了布朗运动扩散方程的解析解:

公式4.png

因此有

即浓度f(x,t)服从均值为零方差为2Dt的正态分布。

1a给出了10布朗粒子在扩散过程中的位移曲线,图1b为扩散过程中不同时刻的浓度正态分布曲线

图2.png

图1 布朗粒子位移曲线和浓度分布曲线

1921年,美国著名数学家维纳Wiener)为了研究“一个微粒所走曲线的数学性质”,假设一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)服从与浓度f(x,t)相同的正态分布规律,有

维纳由此推导出了“布朗粒子瞬时速度无穷大(布朗运动路径处处不可导)”的著名论断,为现代《随机过程》理论的建立和发展奠定了基础范式。

显然,维纳混淆了“浓度”和“位移”这两个物理基本概念,将大量布朗粒子在扩散过程中的浓度分布规律当作一个布朗粒子在扩散过程中的位移变化规律,因而在“布朗运动位移服从正态分布”基本假设中隐含了违反同一律的逻辑错误,导致《随机过程》布朗运动理论的基本假设和逻辑结论均与客观事实完全不符,为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

事实上爱因斯坦的 同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立布朗运动假设等同于“布朗粒子瞬时速度等于白噪声”。

2010年,美国德克萨斯大学的李统藏使用激光光镊技术首次实验观测到了单个布朗粒子的瞬时速度:布朗运动瞬时速度为平均功率有限的白噪声,实验证实了爱因斯坦的布朗运动假设,同时也颠覆了《随机过程》教科书“布朗粒子瞬时速度无穷大(布朗运动路径处处不可导)”的逻辑结论。

2019年,清华大学的高宏在《数学学习与研究》上正式发表论文,将“布朗粒子瞬时速度等于白噪声”作为基本假设(公理),用非线性直线方程描述一个布朗粒子t时刻的位移x(t),即

式中n(t)为平均功率为N0的白噪声

并由此推导出了布朗运动位移的自相关函数、频域特性和位移公式等一系列逻辑结论,用公理化方法重建了可正确描述布朗运动现象及规律的布朗运动理论,为自然科学、工程技术和社会科学等学科提供了正确的数学理论、方法及工具。

因此,《随机过程》的布朗运动基本假设(公理)即将面临从“布朗运动位移服从正态分布”到“布朗运动瞬时速度为白噪声”的重大范式转换,导致《随机过程》整个理论体系和结构发生革命性演变,使人类认识随机运动现象的思维方式产生重大变革,为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

     

     

参考

[1] 你见过非线性的直线方程吗?

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1434931.html   

[2] 非线性直线方程的物理意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435103.html   

[3] 非线性直线方程的哲学意义

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435351.html

[4] 非线性直线方程的自相关函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435492.html

[5] 非线性直线方程的系统模型及频域特性

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435627.html

[6] 非线性直线方程的功率谱密度及分形特征

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1435699.html

   

  

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