“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一数学理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论，在逻辑上不能自洽。

数学理论是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑演绎体系，形式逻辑的无矛盾性是其重要特征。也就是说，数学理论的内部在逻辑上自洽的，不能推出两个自相矛盾的结论（逻辑悖论），数学史上发生的三次重大数学危机都是由于逻辑悖论的出现而导致的。

逻辑悖论会引发数学危机，同时也是推动数学取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论” 促成了公理几何与逻辑的诞生，“贝克莱悖论” 促成了分析基础理论的完善与集合论的创立，“罗素悖论”则促成了数理逻辑与一批现代数学的产生。

一、布朗运动定义

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位置（图1），X(0)=0，定义

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ²t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则X(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

图1 布朗运动位移曲线

二、布朗运动位置方差

根据上述布朗运动定义，布朗运动在位置X(t)处的方差为

D[X(t)]=σ²t

当t>0时，有

D[X(t)]≠0

也就是说，t>0时，布朗运动的位置方差不等于零。

三、布朗运动首中位置方差

假设T_a为布朗粒子首次到达图1中a位置的时间（首中时），则首中位置可表示为

X(T_a)= a

式中a为常数。

对X(T_a)=a两边求方差，可得首中位置X(T_a)的方差

D[X(T_a)]=D[a]=0

显然，首中位置的方差等于零，与布朗运动定义的“位置方差不等于零”结论矛盾，表明《随机过程》布朗运动理论包含逻辑悖论，在逻辑上不能自洽。

四、结论

布朗运动逻辑悖论破坏了《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性，导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽。因此，随机过程学科必将发生重大范式转换，《随机过程》教科书中的错误方法和错误理论将会被新的方法和新的理论所取代。

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