以图1所示的布朗运动位移曲线正态分布性质推导过程为例，逐步分析说明《随机过程》教科书是如何将研究对象从时间函数偷换为随机变量的。

图1 布朗运动位移曲线

（1）《随机过程》研究对象为一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)；

（2）假设X(t)是t的连续函数；  研究对象X(t)是时间函数

（3）将X(t)表示为时间函数增量之和：X(t) = ∆X₁ + ∆X₂ +…+ ∆X_n；

（4）假设∆X₁，∆X₂ ，…，∆X_n为独立同分布（i.i.d.）随机变量；  偷换概念

（5）根据中心极限定理，X(t) ~N（0，σ²t）。  研究对象X(t)变为随机变量

注意：随机变量X(t)与时间函数X(t)的数学符号虽然完全相同，但随机变量X(t)是样本点ω的函数，而时间函数X(t)是时间t的函数，它们是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

随机变量X(t)描述的是大量布朗粒子的集体行为（所有布朗粒子在t时刻的空间位置或状态），而不是单个布朗粒子的个体行为（一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)）。

从《物理学》角度看，《随机过程》偷换概念，把研究对象从单个布朗粒子改变为布朗粒子集合，只能用描述大量布朗粒子集体行为的统计规律（浓度）来描述单个布朗粒子的个体行为（位移），这就如同用温度来描述一个分子的动能一样荒谬。

参考：

[1] 从随机试验和样本函数的角度分析《随机过程》研究对象错位问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1340925.html

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