数学以严谨的逻辑性著称，但是，具有百年发展历史的《随机过程》理论在逻辑上并不能自洽，从《随机过程》理论中可以推导出多个互相矛盾的结论（逻辑悖论）。

这里仅举一例，《随机过程》假设布朗运动位移X(t)～N（0，σ²t），即X(t)服从数学期望E[X(t)]=0、方差D[X(t)]=σ²t的正态分布，并由此推导出了“布朗运动具有常返性”的性质。

布朗运动具有常返性是指：存在任意大的t，使得X(t)=0，也就是说，从原点出发的布朗粒子最终一定会返回原点无穷多次。

假设布朗粒子在t时刻返回原点，这时位移X(t)=0，直接计算返回原点时的方差，有

D[X(t)]=D[0]=0

显然，与X(t)～N（0，σ²t）假设给出的方差D[X(t)]= σ²t矛盾，因此产生了一个逻辑悖论，表明《随机过程》理论在逻辑上不能自洽。

《随机过程》在逻辑上不能自洽的根本原因在于：将一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)抽象为“随机变量”， 并用“随机变量”的集体统计规律来描述“时间函数”的个体变化规律，在基本假设中隐含了违反同一律的逻辑错误。

事实上，根据“函数”和“随机过程”的定义，一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)只能被抽象为“时间函数”或“样本函数”，而非“随机变量”。

“问题驱动”是数学学科发展的不竭动力和重要特征，逻辑悖论是推动数学学科取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”分别引起了数学史上的三次重大数学危机，也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。

因此，《随机过程》教科书中的逻辑悖论必将导致随机过程学科发生一场重大范式危机与范式转换。

参考：

[1]发现《随机过程》教科书逻辑悖论的原理及方法

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1326016.html

[2]布朗运动位移究竟是时间函数还是随机变量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1422916.html

[3]随机变化的变量是时间函数还是随机变量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1396526.html