一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)在数学上应该被抽象为“时间函数”还是“随机变量”？这对当今的中学生来讲是一道极其简单的函数基本概念送分题，但是对随机过程领域的专家学者来说，却是一道拷问灵魂的世纪难题。

图1为一个布朗粒子的位移观测曲线。根据人教版《数学》八年级下册对“函数”的定义，一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)无疑是“时间函数”。布朗粒子位移X(t)与时间t之间的数量关系虽然无法用函数解析式表示，但却能用图1所示的函数图像法表示，或用函数列表法表示。

图1 布朗粒子位移曲线

《随机过程》教科书至今仍将布朗运动位移抽象为“随机变量”，不仅导致《随机过程》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，而且结论与自然科学、工程技术和社会科学大量的观察实验结果不符，并与《随机信号分析》布朗运动理论（将布朗运动位移抽象为时间函数）产生了根本对立和严重冲突。

《随机过程》教科书在布朗运动定义中，对一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)给出了下面两种不同的数学抽象及假设：

（1）X(t)是时间t的连续函数；

（2）X(t)是服从（0，σ²t）正态分布的随机变量。

 显然，《随机过程》教科书将“时间函数”和“随机变量”这两个内涵与外延完全不同的数学概念当作同一概念等同使用，并将“随机变量”的性质当作“时间函数”的性质。

从逻辑学角度看，“布朗运动位移X(t)服从（0，σ²t）正态分布”的基本假设相当于说“黑色的煤球是白色的”，明显违反同一律，产生了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

牛顿创立《微积分》时也曾违反同一律，将∆x=0和∆x≠0这两个完全不同的数学概念等同使用，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了数学史上持续150年的第二次数学危机，导致《微积分》理论险被推翻。后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了牛顿违反同一律的逻辑错误，解除了数学史上的第二次危机。

时间函数X(t)和随机变量X(t)的数学符号虽然完全相同，但它们是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

“时间函数”和“随机变量”之间的关系及区别如图2所示。“时间函数”用来描述一个布朗粒子在不同时刻的位置，“随机变量”则用来描述所有布朗粒子在同一时刻的位置。

图2 时间函数和随机变量之间的关系及区别 

根据《随机过程》教科书对随机过程的定义，时间函数X(t)可看作是固定ω时的随机过程X(ω,t)，时间函数只是随机过程X(ω,t)的一个实现或一个样本函数。时间函数X(t)的定义域为时域T，时间函数X(t)在t时刻只有“唯一一个”确定的取值。

随机变量X(t)则是固定t时的随机过程X(ω,t)，定义域为样本空间Ω。随机变量X(t)在t时刻有“多个”或“无穷多个”取值，这些取值服从（0，σ²t）正态分布。

参考文献：

[1]高宏.布朗运动理论中的反常问题及原因分析[J].数学学习与研究,2022年23期

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1359877.html

[2]高宏.随机过程中的随机变量概念错误及纠正[J].大学教育,2023年02期

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1390692.html

[3]为什么自然科学与工程技术的布朗运动理论对立冲突？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1415197.html