随机过程理论最早源于爱因斯坦1905年对布朗运动的定量研究。随机过程（Stochastic Process）、随机变量（Random Variable）和样本函数（Sample Function）是从质点随机运动现象中抽象出的三种数学概念或数学结构，是人脑对质点随机运动现象数量关系及空间形式的思维反映。

随机过程基本概念虽然远离了直观的经验世界，但却能更深刻地反映随机现象的本质。由于随机过程定义及基本概念的抽象性和复杂性，人们往往容易混淆随机变量和样本函数这两个内涵与外延完全不同的数学概念，产生违反同一律的逻辑错误。

试验观察n个随机运动质点的位移变化过程，会得到n个时间函数（Time function）描述的随机试验结果（图1），随机过程理论是描述和研究随机试验结果（时间函数集合）数量关系及空间形式的数学工具。

下面是几张随机过程定义示意图，直观地描述出了随机过程定义，以及随机过程、随机变量和样本函数三者之间的相互关系。

图1 随机过程是所有随机试验结果到样本空间的映射

图2 随机过程是时间函数的集合

图3 随机过程是从样本空间到一族时间函数的映射

图4 随机过程与随机变量的关系

图5 随机过程的工程定义和数学定义

图6 布朗运动中的随机变量与样本函数

从随机过程定义可以看出，随机过程、随机变量和样本函数是三个完全不同的数学概念，描述的是三种不同的物理对象，随机过程描述的是质点集合中所有质点的位移随时间变化过程（一族时间函数），样本函数描述的是单个质点的位移随时间变化过程（一个时间函数），随机变量描述的是质点集合中所有质点在某一时刻的空间位置分布状况（一族时间函数在某一时刻的取值）。

参考：

随机过程的四种不同情况及对应的分析方法

用随机变量定义随机过程的两个问题