波利亚是20世纪最杰出的数学家之一，他的随机游走定理被列入了数学发展史上最重要的250个里程碑事件，但是，波利亚随机游走定理却与随机游走定义在逻辑上不能自洽，被归谬法证明为假，不能成立。

一、波利亚

波利亚（George Polya，1887-1985）是美籍匈牙利数学家，出生于匈牙利布达佩斯，随后在20世纪40年代成为美国斯坦福大学（Stanford University）数学系教授，因其关于随机游走（Random Walk）问题的研究而闻名世界，1963年美国数学会（MAA）授予波利亚数学杰出贡献奖（Award for Distinguished Service to Mathematics)，波利亚被誉为20世纪最杰出的数学家之一。

图1 波利亚

波利亚在1921年证明的随机游走定理被《数学之书（The Math Book）》列为数学发展史上最重要的250个里程碑式的重大发现（图2）。

图2 《数学之书（The Math Book）》

美国数学会（MAA）前主席、圣塔克拉拉大学（Santa Clara University）数学和计算机科学系主任亚历山大森（Alexanderson）主编的波利亚生平传记书名就为《波利亚的随机游走（The Random Walks of George Polya）》。

图3 《波利亚的随机游走》

波利亚晚年热衷于数学教育，所著的《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》等数学教育书籍被译成多种文字，风靡世界。

为纪念波利亚对数学做出的突出贡献，美国工业与应用数学会在1969年专门设立了波利亚数学奖（Polya Prize in Mathematics）；美国数学会在1976年设立了波利亚奖（Polya Award）；伦敦数学会在1987年设立了波利亚奖（Polya Prize）。斯坦福大学以他的名字命名了一座波利亚楼（Polya Hall），并在数学图书馆里悬挂了他的肖像，这是馆内唯一悬挂的科学家肖像。

二、波利亚随机游走定理

1905年，英国著名数学家、现代统计科学的创立者皮尔逊（Pearson）在《自然（Nature）》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

图4 随机游走的醉汉

1921年，波利亚发表了关于随机游走问题的研究论文，证明了“一维和二维简单随机游走是常返的”随机游走定理，这表明从原点出发的醉汉最终一定能回到起点，从理论上解决了皮尔逊提出的随机游走问题。

日本著名数学家角谷静夫将波利亚随机游走定理形象地表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home），因此，波利亚随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

三、随机游走定理与随机游走定义在逻辑上不能自洽

根据随机游走定义，醉汉随机游走n步时的方差等于n；

根据随机游走定理，醉汉最终一定会回到起点，回到起点时的方差为0。

我们假设醉汉随机游走n步时回到起点，根据随机游走定义，醉汉回到起点时的方差为n；但是根据随机游走定理，醉汉回到起点时的方差为0，因此出现了两个互相矛盾的结论（逻辑悖论），表明随机游走定理与随机游走定义在逻辑上不能自洽（图5），证明随机游走定理的判断为假，不能成立。

图5 波利亚随机游走定理中的逻辑悖论

数学学科的发展历史表明，逻辑悖论的出现是推动数学学科取得突破性发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”的出现分别引起了数学史上的三次重大数学危机，也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机则导致了数理逻辑与一批现代数学的产生。

“波利亚随机游走悖论”的出现，预示着《随机过程》理论将面临库恩（Kuhn）在《科学革命的结构》书中所描写的范式危机和范式转换，《随机过程》教科书中的原有理论和方法将会被新理论和新方法所取代，导致《随机过程》知识体系和人类思维方式发生根本性的变革，从而把人类对客观世界的认识提高到一个崭新的水平，引发一场深入持久的科学革命。

参考：

三个有趣的归谬法例子

随机游走定义的概念错误及纠正（后印本），数学学习与研究. 2021,(28)