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随机过程定义的逻辑结构缺陷及完善(预印本)
2022-6-28 16:06
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摘要:本文指出了现有随机过程定义只有“属概念”而无“种差”的逻辑结构缺陷。现有随机过程定义只给出了描述随机过程的二元函数“属概念”,并未给出反映随机过程本质属性和数量关系的“种差”,因此无法准确揭示随机过程概念的内涵与外延。本文对抛硬币试验结果产生的随机时间序列进行了数量分析,抽象出了“零均值”和“不相关”这两个重要的随机性本质属性与数量关系,用白噪声和算子构造出了反映随机过程本质属性和数量关系的“种差”,给出了具有“属概念”和“种差”结构的随机过程定义。

关键词:随机性;白噪声;频域分析


一、引言

随机过程(Stochastic Process)是揭示和探讨客观世界随机运动现象数量关系及其变化规律的应用数学理论。《随机过程》教科书通过定义在[公式]上的二元函数[公式]来描述随机过程试验结果,对于固定的时间[公式][公式]是样本点[公式]的函数,称为随机变量,简记为[公式];对于固定的样本点[公式][公式]为时间[公式]的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为[公式],并定义随机过程是一族依赖于时间[公式]的随机变量[公式]集合[1][2],或一族依赖于样本点[公式]的样本函数[公式]集合。从形式逻辑的概念定义方法和逻辑结构看,《随机过程》教科书对随机过程的定义只有“属概念”而无“种差”,存在逻辑结构上的严重缺陷,根本没有解释或说明随机过程的本质属性或数量关系,因此无法准确揭示随机过程概念的内涵与外延。本文对抛硬币试验结果产生的随机时间序列进行了概率、均值、方差、自相关函数和功率谱密度等数量特征分析,抽象出了“零均值”和“不相关”这两个重要的随机性本质属性与数量关系,得出了抛硬币试验结果产生的随机时间序列为白噪声序列的结论,并用白噪声和算子构造出了反映随机过程本质属性和数量关系的“种差”,给出了具有“属概念”和“种差”结构的随机过程定义,最后介绍了可用确定性数学解析式描述随机过程现象及规律的频域分析方法。

二、随机过程及定义

自然界的事物变化过程可以分成两大类:确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律,每次试验观察到的变化过程完全相同,所有试验结果可用同一个时间函数[公式]描述。

随机过程没有确定性的变化规律,每次试验观察到的变化过程均不相同,[公式]次试验会观察到[公式]个变化过程(图1),[公式]次试验结果要用[公式]个不同的时间函数[公式]进行描述。

图1.png


图1 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有可能结果映射到样本空间间 [公式],然后用二元函数[公式]来描述随机过程试验结果。

定义:随机过程[公式]是定义在[公式]上的二元函数。对于固定的[公式][公式]是时间[公式]的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为[公式];对于固定的[公式][公式]是样本点[公式]的函数,称为随机变量,简记为[公式]

从样本函数和随机变量的角度,还可以给出两种等价的随机过程定义。

工程定义:随机过程是一族依赖于样本点[公式]的样本函数[公式]集合。

数学定义:随机过程是一族依赖于时间[公式]的随机变量[公式]集合[3][4]

随机过程的工程定义与随机过程的实际观测结果相对应,方便计算随机过程的时间平均和统计平均。

随机过程的数学定义与《概率论》中的随机变量定义相联系,可把随机过程看成是多维随机变量的推广,因此在随机过程理论分析领域常用数学定义。

三、随机过程定义的逻辑结构缺陷

定义是通过简明陈述来揭示概念内涵的逻辑方法,也就是通过指出概念所反映事物的本质属性来明确概念的逻辑方法。

1、数学概念的定义方法及逻辑结构

GB/T15237.1-2000术语工作 词汇 第1部分:理论与应用》对定义(definition)进行了如下描述:定义是描述一个概念,并区别于其他相关概念的表述。同时给出了用广义概念(属概念)和区别特征(种差)描述概念内涵的定义方法,并以白炽灯示例:白炽灯是由电流加热灯丝而发光的电灯。

定义由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。

被定义项就是在定义中被说明的概念,如上例中的“白炽灯”。

定义项就是用来解释和说明被定义项的词项或概念,如上例中的“由电流加热灯丝而发光的电灯”。

定义联项是用来连接被定义项和定义项的词项,如上例中的“是”。

解释或说明概念内涵的常用定义方法是 “属加种差”方法[5],其逻辑结构是:

被定义概念=种差+属概念

用属加种差方法下定义时,首先应找出被定义项邻近的属概念,然后找出相应的种差(被定义概念与其所在属概念下的其它种概念之间的本质属性或差别),最后用定义联项把属概念和种差有机地结合起来。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,通常将被定义项的数量关系或空间形式作为“种差”,它不仅结构简单,而且连贯性强,较好地表现了数学概念的层次性和系统性。例如,偶数是能被2整除的整数,平行四边形是两组对边分别平行的四边形。

2、随机过程定义的逻辑结构缺陷

从前面的随机过程定义可以看出,随机过程定义中的被定义项为随机过程,但随机过程定义只给出了被定义项的属概念——二元函数[公式],并未给出描述被定义项本质属性或数量关系的“种差”,因此,随机过程定义是一个在逻辑结构上只有“被定义项”和“属概念”,而无“种差”的数学定义。

由于随机过程定义在结构上存在无“种差”的严重逻辑缺陷,没有解释或说明随机过程的本质属性或数量关系,因此根本无法准确揭示随机过程概念的内涵与外延。

四、随机性的本质属性与数量关系分析

时间和空间是物质运动的基本形式,时间是指物质运动过程的持续性、顺序性;空间是指物质运动的广延性、伸张性。物质运动总是在一定的时间和空间中进行的,离开时间和空间的物质运动是不存在的。

随机现象的演变过程也是在一定的时间和空间中进行的,例如布朗粒子位移、电路噪声电压和股票价格波动均随时间的演变而随机变化,因此,研究随机运动现象的数量特征及规律时,也不能脱离时间和空间的范畴。

随机过程学科的研究目的,就是要用数学语言来表述随机运动现象中的时空数量关系,并加以推导、演算和分析,从而揭示出随机运动现象的特征及规律,以形成对随机运动现象的解释、判断和预言。

为了便于直观理解随机运动现象的随机性,《随机过程》教科书通常用连续抛硬币试验结果的先后顺序,来构造随机游走和布朗运动等基本随机过程。

假设以[公式]的时间间隔连续抛投硬币,第[公式]次抛硬币结果为[公式],简记为[公式],则连续[公式]次抛硬币试验结果就构成一个按时间顺序形成的一个随机时间序列或一个随机过程样本函数:

[公式]    (1

简记为{[公式]}或[公式]

在连续抛硬币过程中,假设硬币正面向上时[公式],反面向上时[公式],则[公式]是时间[公式]的函数,对于任意一个[公式]都有唯一确定的一个[公式]和它对应。

虽然随机时间序列{[公式]}中的单个序列值[公式]是完全随机的,无法预测,但是随着抛硬币次数[公式]的逐渐增大,整个随机时间序列{[公式]}就会呈现出50%[公式]50%[公式]的统计分布规律。

1、随机时间序列的概率

设连续抛硬币次数为[公式],其中有[公式][公式][公式][公式],随着[公式]的增加,“[公式]”事件出现的频率[公式]和“[公式]”事件出现的频率[公式]会分别稳定在概率[公式][公式],即

[公式]         (2

[公式]          (3

从上式可以看出,概率[公式][公式]描述的是随机试验次数[公式]充分大时,随机时间序列{[公式]} 会呈现出50%[公式]50%[公式]的统计规律,而不是某个[公式]出现[公式][公式]的可能性。概率[公式][公式]是描述随机时间序列{[公式]}集体行为的统计参数,不能用来描述单个序列值[公式]的个体行为。

2、随机时间序列的均值

[公式] (4

式中[公式][公式]为随机时间序列{[公式]} 发生“[公式]”事件和“[公式]”事件的概率。

均值[公式]反映了随机时间序列{[公式]}中的确定性成分,其物理意义为随机信号{[公式]}中的直流分量。

从随机时间序列{[公式]}的均值[公式]计算公式可以看出,概率[公式][公式]描述的是整个随机时间序列{[公式]}的确定性,而不是随机时间序列{[公式]}中某个序列值[公式]的随机性。

3、随机时间序列的方差

[公式]     (5

方差[公式]反映了随机时间序列{[公式]}中的随机成分偏离均值的程度,其物理意义为随机信号{[公式]}中交流分量的平均功率。

4、随机时间序列的自相关函数

[公式]6

式中[公式]为单位冲击序列。

随机时间序列{[公式]}的自相关函数[公式]反映了不同时刻序列值的关联性。[公式]表明,随机时间序列{[公式]}中的每一个序列值[公式]都是独立的,互不相关,随机时间序列{[公式]}没有记忆性。对于连续抛硬币试验来说,只要不是同一次抛出,试验结果就互不相关。

5、随机时间序列的功率谱密度

由维纳-欣钦定理,平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度之间构成一对傅立叶变换,可得随机时间序列{[公式]}的功率谱密度函数

[公式]                 (7

式中[公式]为频率,表明{[公式]}的功率谱密度在整个频率轴(-∞,+∞)上为常数,因此{[公式]}是一个白噪声序列

从上述对随机时间序列{[公式]}的数量关系分析可以看出,随机时间序列{[公式]}具有“零均值”和“不相关”这两个重要的随机性本质属性与数量关系。

五、重新定义随机过程

《随机过程》教科书用连续抛硬币试验得到的白噪声序列{[公式]}之和来定义随机游走过程,若

[公式] (8

则称{[公式]}为从[公式]出发的一维简单随机游走。

式(8)的随机游走过程是通过对白噪声序列{[公式]}进行累加运算构造出来的。事实上,任何随机过程[公式]的样本函数[公式]都是对白噪声信号[公式]进行某种数学运算后得到的结果[6]

1、白噪声定义

若平稳随机过程样本函数[公式]的均值为零,且功率谱密度[公式]在整个频率轴(-∞,+∞)上为非零的常量(均匀分布),即

[公式]               (9

其中[公式]为正实常数,则称此过程为白噪声过程,简称白噪声。[公式]的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

白噪声的“白”是借用了光学中“白光”这一术语,因为白光的光谱中包含了所有可见光的频率分量,而且均匀分布在整个频率轴上。

根据维纳-辛钦定理,任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换,可得白噪声[公式]的自相关函数为

[公式]           (10

其中[公式]为单位冲击函数。

上式表明,白噪声[公式]仅在[公式]时才有相关性,只要不是同一时刻就互不相关。因此白噪声[公式]的波形是一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。

白噪声[公式]的功率谱密度[公式]与自相关函数[公式]图形如图2所示。

图2.png

图2 白噪声功率谱密度与自相关函数

上述白噪声定义,只是从随机过程样本函数[公式]的功率谱密度的角度去定义,没有涉及白噪声随机变量[公式]在某一时刻服从的概率分布。白噪声随机变量[公式]可以有不同的概率分布,如果白噪声随机变量[公式]服从正态分布,则称[公式]为高斯白噪声。

白噪声[公式]的功率谱密度[公式]在整个频域内均匀分布,表示其功率谱无限宽,平均功率无限大,这在实际中是不存在的。因此白噪声[公式]只是一种理想化的数学模型,由于其功率谱密度为“常数”,自相关函数是一个“冲击函数”,在数学上具有处理简单、计算方便等优点。

2、随机过程定义

定义:[公式]为定义在[公式]上的二元函数,[公式][公式]固定[公式]时的样本函数,[公式]为零均值不相关白噪声,若

[公式]             (11

式中符号[公式]称为算子,它代表某种数学运算,如加法、乘法、微分、积分或微分方程等,则称[公式]为随机过程。

例如,布朗运动是算子[公式]为积分运算的随机过程。1905年,爱因斯坦首先对布朗运动进行了定量研究,并假设“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”,这表明布朗粒子的瞬时速度在不同时刻互不相关,布朗粒子的瞬时速度为零均值不相关白噪声。2010年,美国得克萨斯大学的李统藏对布朗粒子瞬时速度测量实验结果表明:布朗粒子瞬时速度为零均值不相关白噪声[7]

根据物理学“布朗粒子瞬时速度为零均值不相关白噪声”的结论和实验结果,以及质点位移为瞬时速度在时间上的积分,可知布朗运动过程是算子[公式]为积分运算的随机过程。

[公式]为布朗粒子在[公式]时刻的位移,[公式],有

[公式]           (12

式中[公式]为平均功率为[公式]的零均值不相关白噪声。

从上式出发,就能建立正确描述单个布朗粒子运动现象及规律的布朗运动理论,并推导出大量布朗粒子的空间位置在[公式]时刻服从[公式]正态分布的统计规律[8]

从信号与系统的角度看,随机过程[公式]的样本函数[公式]可看作是白噪声信号[公式]激励算子为[公式]的线性系统时产生的输出(图3)。

图3.png

图3 随机过程系统模型

所谓“系统”,是指能对各种“输入”按一定规则进行变换,并产生相应“输出”的装置,通常将算子为[公式]的系统称为系统[公式]

由于白噪声[公式]的功率谱密度为常数,因此白噪声[公式]通过系统[公式]后,系统输出[公式]的频域特性就完全取决于系统[公式]的频域特性,可把随机过程现象、特征及规律的研究转变为对确定性系统特性的研究。

六、随机过程频域分析方法

频域(Frequency Domain)是描述事物周期波动特性时用到的一种坐标系,频域以频率轴为坐标表示事物运动与频率之间的数量关系。使用傅立叶变换,任何随时间变化的随机运动,均可被分解成为不同频率的谐波分量。

频域最重要的特点是:它不是真实的世界,而是一个抽象的数学构造。频域分析能够引导人们从随机运动现象的表面深入到随机运动现象的本质,看到时域角度看不到的问题,发现隐藏在随机运动现象下的确定性规律,从而能深刻地揭示出随机运动现象的特征及规律,因此,频域也被专业学者们称为上帝的视角。

随机运动现象虽然在时域无法用确定性的数学解析式来描述,但是在频域却可用确定性的数学解析式表示,提供比时域更直观、更丰富的数字特征信息。

例如,在时域完全随机的零均值不相关白噪声[公式]在频域的功率谱密度[公式]为常数,白噪声[公式]在通过系统[公式],系统输出[公式]在频域的功率谱密度[公式]就可用确定性的数学解析式表示。

当输入信号为平稳随机过程和系统为线性时不变系统时,输出信号[公式]的功率谱密度[公式]与输入信号[公式]的功率谱密度[公式]有如下关系

[公式]        (13

式中[公式]为系统[公式]的频率响应函数,[公式]称为系统[公式]的功率传递函数。

由于白噪声[公式]的功率谱密度[公式]为常数,因此系统输出信号[公式]的功率谱密度[公式]仅与系统[公式]的幅频特性[公式]有关。

布朗运动的系统模型为积分器,其频率响应函数为

[公式]         (14

式中[公式]为辛格函数。

[公式]是正弦函数[公式]与单调递减函数[公式]的乘积,表明积分系统具有低通滤波特性。白噪声信号[公式]通过系统后,其中的低频分量被放大,高频分量被衰减被,白噪声被变换为能量集中在低频段的红噪声。

系统频率特性[公式]与频率[公式]成反比,表明[公式][公式]分形信号,具有非平稳、自相似和长程相关性等重要特性。

系统频率特性[公式]表明:布朗运动位移[公式]中存在一条与时间[公式]成正比的线性趋势线,[公式]围绕趋势线上下波动。

积分系统的低通截至频率与时间[公式]成反比。当时间[公式]趋于无穷小时,低通滤波器的带宽趋于无穷大,布朗粒子位移[公式]表现为完全随机的白噪声。当时间[公式]趋于无限大时,低通滤波器的带宽趋于零,布朗粒子位移[公式]表现为确定性的斜坡信号(匀速直线运动)。因此,布朗运动的随机性和确定性只是同一事物在不同观察尺度下的表现形式。在微观尺度上表现出很强随机性的布朗运动,在宏观尺度上表现为确定性的匀速直线运动,与物理学布朗粒子扩散过程的观察结果完全一致。

七、结论

本文根据形式逻辑的概念定义方法和概念定义结构,对《随机过程》教科书中的随机过程定义进行了分析。发现随机过程定义只给出了被定义项的属概念——二元函数[公式],并未给出描述被定义项本质属性或数量关系的“种差”,因此,随机过程定义是一个在逻辑结构上只有“被定义项”和“属概念”,而无“种差”的数学定义。由于随机过程定义在结构上存在无“种差”的严重逻辑缺陷,没有解释或说明随机过程的本质属性或数量关系,因此根本无法准确揭示随机过程概念的内涵及外延。本文对抛硬币试验结果产生的随机时间序列进行了概率、均值、方差、自相关函数和功率谱密度等数量特征分析,抽象出了“零均值”和“不相关”这两个重要的随机性本质属性与数量关系,得出了抛硬币试验结果产生的随机时间序列为白噪声序列的结论,并用白噪声和算子构造出了反映随机过程本质属性和数量关系的“种差”,给出了具有“属概念”和“种差”结构的随机过程定义,最后介绍了可用确定性数学解析式描述随机过程现象及规律的频域分析方法。


参考文献:

[1]Sheldon M.Ross. 随机过程[M]. 龚光鲁 译. 北京: 机械工业出版社,2013.

[2]Gregory F. Lawler. 随机过程导论[M]. 张景肖 译. 北京: 机械工业出版社,2010.

[3]何书元. 随机过程[M]. 北京: 北京大学出版社,2013.

[4]林元烈. 应用随机过程[M]. 北京: 清华大学出版社,2014.

[5]朱晓鸽. 逻辑析理与数学思维研究[M]. 北京: 北京大学出版社,2009.

[6]常建平,李海林. 随机信号分析[M]. 北京: 科学出版社,2013.

[7]Tongcang Li, S. Kheifets, D. Medellin, and M. G. Raizen. Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle[J]. Science, 2010(25):1673-1675.

[8]高宏. 公理化方法重建布朗运动理论[J]. 数学学习与研究,2020,23:133-134.


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