“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

一、随机游走定义

设质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动单位距离Δx（图1），每次移动前用抛硬币结果来决定质点移动的方向。若抛硬币结果为正面向上，Δx=1，质点向右移动一步；若抛硬币结果为反面向上，Δx=-1，质点向左移动一步，则称质点运动为简单对称随机游走。

图1 随机游走示意图

       随机游走定义：设ΔX₁，ΔX₂，……，ΔX_n独立同分布（i.i.d.），P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，X₀=0，定义

X_n=ΔX₁+ΔX₂+……+ΔX_n                （1）

为从原点出发的简单对称随机游走。

X_n的物理意义为质点移动n步后距原点的距离，图2（a）为位移增量（抛硬币结果）ΔX_i函数图像，图2（b）为相应的X_n位移曲线。

图2 随机游走位移增量及位移曲线

二、随机游走定义概率假设的逻辑悖论

  随机游走定义假设P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，可直接得出ΔX_i的数学期望和方差

  E(ΔX_i )=0                                           （2）

  D(ΔX_i)=1                                            （3）

  但是，随机游走的质点每次移动时，只能是向右移动一步（ΔX_i =1），或是向左移动一步（ΔX_i =-1），见图2（a）。

  当ΔX_i =1（质点向右移动一步）时，其数学期望和方差为

  E(ΔX_i )=1                                           （4）

        D(ΔX_i)=0                                            （5）

当ΔX_i =-1时（质点向左移动一步），其数学期望和方差为

E(ΔX_i )=-1                                          （6）

D(ΔX_i)=0                                            （7）

因此，随机游走位移增量ΔX_i的E(ΔX_i ) ≠0，D(ΔX_i)=0，与式（2）和式（3）的E(ΔX_i )=0和D(ΔX_i)=1矛盾。

事实上，随机游走定义假设P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，表示质点向右移动的可能性与向左移动的可能性完全相同，意味着质点每次移动时都会一分为二，其中的一个质点若向右移动一步，则另一个质点就会向左移动一步，因此位移增量ΔX_i的平均值（数学期望）E(ΔX_i )=0。

三、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，必然要求内部逻辑的完备性，科学理论内部必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论客观真理性的重要评价标准之一，一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论，则表明该理论内部存在重大科学问题（概念错误或逻辑错误），其逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”