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从抛硬币试验看随机游走定义的基本概念错误

已有 554 次阅读 2021-5-11 15:15 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

随机游走(Random Walk)是《随机过程》教科书中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程,许多重要的随机过程都可由它派生出来,其理论不仅在随机过程中占有相当重要的地位,而且也是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具。液体中悬浮微粒的布朗运动、光纤陀螺中的随机游走误差和股票市场中的价格波动等随机现象均可用随机游走模型进行描述。

一、抛硬币试验概率分析

概率定义:在相同条件下重复进行 [公式] 次试验,其中事件 [公式] 发生的次数[公式]如果随着试验次数 [公式] 的增多,事件 [公式] 发生的频率 [公式] 会稳定在某个常数 [公式] 附近,那么这个常数 [公式] 就叫做事件 [公式] 的概率。

概率是用来描述随机试验次数n充分大时的统计参数。对于抛硬币试验,我们虽然无法预测下一次硬币是正面还是反面,但是我们知道当试验次数 [公式] 足够大时,硬币正、反面出现的概率均0.5试验结果会呈现出正面反面各一半的统计分布规律

注意:用概率描述抛硬币试验的统计规律时有一先决条件:试验次数 [公式] 要充分大!

如果用概率 0.5 来描述试验次数 [公式] 时的抛硬币试验结果,则意味着每次抛出硬币,硬币都会一分为二,出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的荒谬结果。

但是,《随机过程》教课书恰恰就用概1/2 来描述连续抛硬币过程中每一次抛出硬币的结果,并由此来定义随机游走,从而推导出了一系列与事实不符的性质和结论。

二、随机游走定义

连续抛投均匀硬币,记录结果:

[公式]

[公式]独立同分布 [公式] ,

[公式] ,定义

[公式]

为简单随机游走。

图P2.png

图P3.png

图P4.png

图1 随机游走定义

三、随机游走性质与事实不符

连续抛投均匀硬币的记录结果 [公式] 是 [公式] 个确定的常数,但是《随机过程》教科书将它们视为 [公式] 个独立同分布随机变量,因此 [公式] 的数学期望和方差分别为

[公式]

[公式]

事实上,连续抛投均匀硬币的结果 [公式] 是 [公式] 个确定的常数,因此 [公式] 也是常数,其数学期望和方差分别为

[公式]

[公式]

显然,《随机过程》教科书中的随机游走性质与事实不符。

实际情况是,如果有 [公式] 个人同时连续拋投均匀硬币,根据 [公式] 组试验结果,最后可计算出 [公式] 个不同的 [公式] ,这 [公式] 个 [公式] 服从 [公式] 正态分布。

《随机过程》教科书将连续投抛硬币记录结果假设为随机变量,无形中导致研究对象错位,将研究对象从样本函数(一组试验结果)改变为随机变量(多组试验结果),从而得出了一系列与事实不符的错误结论。

四、抛硬币试验概率计算

连续抛投均匀硬币,记录结果:

[公式]

上述 [公式] 随机试验结果虽然事前无法预测,但是事后就是 [公式] 个确定的随机试验样本值,即一组时间序列。

[公式] 的取值不是为 [公式] ,就是为 [公式] ,不可能同时取值 [公式] 和 [公式] ,因此第 [公式] 次试验结果 [公式] 是次数 [公式] 的函数,图2给出了某次抛硬币试验结果 [公式] 的函数图像。

图P5.png

图2 抛硬币试验结果函数图像

假设在 [公式] 次抛硬币试验结果中正面和反面出现的次数分别为 [公式] 和 [公式] ,根据概率定义,正、反面出现的概率分别为

[公式]


[公式]

五、随机游走定义概念错误

根据上述对抛硬币试验概率的概念分析和计算方法可以看出,《随机过程》教课书中的随机游走定义出现了下面两个严重的基本概念错误:

(1)用概率 [公式] 和 [公式] 来描述抛硬币试验中每一次抛出硬币后正、反面出现的可能性;

(2)抛硬币试验结果[公式]是 [公式] 个确定的样本值,随机游走定义将 [公式] 个随机试验样本值假设为 [公式] 个独立同分布 [公式] 随机变量

如果将随机试验样本值 [公式] 假设为随机变量,则 [公式] , [公式] ,表明每次抛硬币都会同时出现正面向上和反面向上的试验结果,也就是说,每次抛硬币都会出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的荒谬结果。

六、重新定义随机游走

连续抛投均匀硬币,记录结果:

[公式]

上述 [公式] 个随机试验结果虽然事前无法预测,但是当试验次数 [公式] 足够大时,硬币正面出现的概率 [公式] 和反面出现的概率 [公式] 均为 [公式] ,可由此计算出抛硬币试验结果的算数平均值

[公式]
式中算数平均值 [公式] 的物理意义为时间序列[公式]中的直流分量。

由于每次抛硬币都是独立的,因此可直接得出抛硬币试验结果的自相关函数为

[公式]

式中 [公式] 为单位冲击序列, 表明仅在 [公式] 时, [公式] 和 [公式] 才具有相关性,只要不是同一次抛出,试验结果就互不相关。

由维纳-欣钦定理,可得时间序列[公式]的功率谱密度

[公式]

表明连续抛硬币试验结果[公式]实际上是一个平均功率为 [公式] 的白噪声序列,因此,可给出正确的随机游走定义。

定义:[公式]为平均功率为 [公式] 的白噪声序列,则称

[公式]

为简单随机游走。




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