反证法证明随机游走的醉汉不可能返回原点
2020-11-4 11:13
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一、随机游走模型及方差
《随机过程》教科书给出了一维简单随机游走模型的定义及方差。
设、,…,为独立同分布随机变量,
定义
为从原点 出发的一维简单随机游走。
由 的定义,可直接得出 的方差
上式说明 的方差具有如下两个重要性质:
(1) 在原点 的方差为零, ;
(2) 在第 步时的方差等于 , , 。
从上述两条性质可以得出结论
结论1: 时, , 。
和 始终是方差不同的两个随机变量,表明 永远也回不到初始状态 。
二、Polya随机游走定理
Polya随机游走定理:一维或二维简单随机游走是常返的。
常返性表明:
即从 出发的一维随机游走 访问 无穷多次的概率为1。
三、反证法证明
假设一维随机游走 在第 步时(,包括趋于)访问原点 ,此时有
则 的方差为
这与 矛盾,证明随机游走 在第 步时回到原点 的假设不成立,表示一维简单随机游走 不可能回到原点 。
结论2:一维简单随机游走的常返性与方差 在逻辑上不能自洽。
事实上,从结论1可以看出,一维简单随机游走常返性的前提 根本就不存在。
四、文章证明方法简要说明
依据一维简单随机游走的方差公式
得出了
时, ,
表明 永远也不可能回不到 ,与教科书结论不一致。
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