第26讲：“终极大自然观”认识数学（数理）
序：已知，“终极大自然”是融涵一切的终极的客观世界，当然包括人类意识及其数学和物理。尽管说人类及其意识是来自终极大自然的受到它的制约，但毕竟意识是人类唯一具有能动性的先天功能，只能幸运地依赖它代表（置身于逻辑空间的）人类，利用其逻辑思维能力，认识和理解这（包括数学和物理的）终极客观世界。
本文是继《数学及其认识》（高教出版社-斯普林格出版社2001-2005）对数学做出“再认识”后，进一步凭借“终极大自然观”对数学（数理）在新的高度上给出的理解扼要。
具体说，历史上数学、物理都是从眼前直观开始对大自然的探索途径，直到19世纪末20世纪初进入到数学寻“根”（揭示无理数集本质）和物理学“后实证主义”时期，至使数、理同时进入到某种迷雾状态，也更加激活了相互的沟通与关联。
那么，现在即可（基于“终极大自然观”）直接从数学的根基（也是数理的根基）出发去俯视鸟瞰（纵览）数学（数理）了，包括它们的本质、特征、困惑及其未来。
注：1把数学与物理相结合的成分叫做数理；数学、物理简称数、理；有理数集、无理数集（不致混淆时）简称有理数、无理数。
2涉及到的相关概念除文中强调的外皆系前述内容中指出的或即流行语义。
1 数、理相关概念描述
定义1：空间是集合及其元素在一定条件下的关系总体，当强调其活性时也叫做世界。
1.1 数、理描述1
数学是人类凭着既有的意识水平在逻辑空间（见后）中，采用“提问-推理-判定”思维模式志在（以大自然为背景）发掘完备逻辑空间的科学，戏称雕琢逻辑完备“象牙塔”的科学。
物理学是人类凭着既有的意识水平在逻辑空间中，采用验测推理的实证方法志在认识和利用自然的科学。
定义2：视宇宙、自然、物理世界为同义词，在不至混淆时简称物理世界和物理学为物理。
为便于直观，以下对物理世界的思维可仅就地球这一天体作为思辨“模特”。
定义3：基本空间。（从本论已不难理解）若析去或叫“紧致”掉物理世界中的物质性（不考虑各种物质能），则剩下来的静止的尸位形态所属的几何空间，叫做“基本空间”。
已知1：（比如在坐标系意义下更能直观）“基本空间”本质上是由“数”（实数）构成的；“数”抽象自“形”而“形”须用“数”来刻画，二者互动著；也就是，“数”与“形”皆蕴含于“基本空间”；数的基本单元（数点）对应于“形”的基本单元（形点、物理的抽象“子”），统一叫做“点”。
1.2 数学、物理描述2
当今数学是在“基本空间”基础上（经几千年）累建起来的且继续累建著的一门抽象科学，也简称“数”与“形”结合和互动的一门科学。
物理学是在其“基本空间”中恢复（赋予）所有物质性（包括质量、动能、结构能等）后的世界；或说物理是在（数学意义下）“基本空间”基础上建立起来的（多层、多种能量形式构成的）能量世界；抑或说物理世界等于（数学的）“基本空间”乘以（非数学的）物质性空间。
至此表明，数学、物理是建立在同一个“基本空间”上的，似乎只是（相对说来）一个抽象一个实在而已，所以才有狭义相对论的“几何物理化”和广义相对论的“物理几何化”实质。
当然，数、理相互间的差异也是实质性的。
已知2：“基本空间”的本质是“数”=实数=有理数+无理数。
由康托集合论揭示出，有理数与无理数间具有“空间‘层次’”的本质差异，目前已知的数、理间联系只表现在（没有大小只有位置的）“点”本质的“有理数（点）集”上。
至于“无理数集”虽然也是数理共同的，但对其本质的认识即使在数学中也尚未正式澄清。
1.3 数、理描述3
数学，其主体是建立在“有理数集”上的，当今计算数学表明“所有数学皆可‘投影’到有理数上来“即能说明这点；对于“无理数集”的研究虽亦丰富但不能不说它只是数学的背景空间（所涉无理数只是代以符号表示或近似到有理数集上去处理），关键是其本质（也就是“无穷”的本质）尚未正式澄清，致使历史上累计的隐藏在“无穷”本质中的谜题皆未能澄清。
物理学，其主体是建立在其“粒子世界”上的（本质上每个粒子相当于“非标准分析”中一个“单子”）；随着物理学的深入“粒子世界”的“子”集正在“靠”近（其“基本空间”中的）有理数集；抑或说有理数集是粒子世界的终极底层。但对于无理数集的对应（目前）物理学尚未意识到这点。
已知3：近百余年来的数学，一方面在致力于揭示“无理数集”（无穷）的本质，表现为从多个渠道（主要是数理逻辑、集合论）纯数学地寻求数学之根；另一方面也致力于更加深刻的综合性的掘进数学；再一方面也与处于迷茫状态的物理学前沿充分交流互鉴。
下面仅以数学发展为主体顺势结合物理应用来叙述。
1.4 数学（数理）描述4
数学是以刻画集合中元素间逻辑关系来揭示其系统空间实质的科学，形成了以“数”（实为有理数）为起底的数学和以“形”（可谓实数集）为起底的数学两大基本类型及以“数、形”二象互动的（表现为综合交错的）发展和应用势头。续下
2 数学（数理）的“数”与“形”发展态势一瞥
2.1“数”：直接起底于“数”的数学（累计几千年）摸索发展成了三大层级。
（1）数的数学。实数是数学的基地，有理数是数学的基底；本质上整个“大科学”都是运行在有理数上的，皆可落实（或叫投影）到数量数码数字等“数”的基本形式上来；“数”是作为信息载体的大舞台。
直接表现在“数”层面上的数学：一是基础性的如算数、数论和初等代数；二是抽象代数，特别是其强大的应用性刺激着它的发展（比如诺特“环”理论能揭示出物理系统深刻的对称不变性，包括“规范场”也能被其简单描述）；三是线性代数和线性空间理论，无愧地说它也属于整个数学的基础（如多元系统和微分系统的线性主部分析等即归于斯）；四是数理逻辑（续后）、集合论、模型论等数学基础理论，担负着数学寻根任务，目前规模不大但正以“数学哲学”方式继续探索着；五是现代的计算机科学、计算方法、信息科学，皆系围绕着“数”（数码、数据）的科学，可谓业已成为遍及“大科学”的核心。
（2）函数数学。包括（多项式形式的）代数函数和（三角函数，指数、对数函数等的）超越函数以及（含虚变量与旋转性的）复变函数等作为基本研究领域，并进一步提升到（以实数集合为研究对象的）实变函数和（以函数空间为研究对象的）泛函数层次的数学领域（充分开发出同态同构同胚同伦同调工具）。特别对现代代数函数的研究已成为前沿性热门，诸如代数函数族的表示、分类和代数几何、代数拓扑研究等即是。
（3）分析数学。是以发展和拓展微积分概念及其理论和应用为特色的数学领域。微分概念既能揭示出函数在（包括平直空间、流形、“联络”等理论中广义的）“点”处深刻的结构特征，又能（对时间求导）揭示出系统的运行特征；分析理论极大的活跃了函数空间（如多种微分方程、动力系统）并拓展了几何学（续下），使之成为典型的现代数学前沿。
2.2 “形”：是以形体（几何）为研究对象的数学；本质上是用其基底的（有理数中）数量关系来刻画几何对象；随着“数”与“形”理论互动的深入而逐步深入。形成了三大层级：
（1）欧氏几何，是以《几何原本》为典范、《解析几何》为代表、初等代数为主要工具、点线面体为基本对象的，驰骋于平直空间的几何学。
（2）非欧几何 ，以数学分析为主要工具，以考察度规曲率及更多内蕴性质来刻画广义几何对象“流形”（弯空间）的几何学，除（肇源的）罗氏几何、黎氏几何外，还有如仿射几何、射影几何等，并进一步孕育出了拓扑学。
（3）现代几何，此即（结合拓扑思想与代数思想形成的）全局分析上产生的多种现代几何，又叫大范围几何，是对各类流形更为深刻的刻画。
为此，在思想和方法上有了充分的创新，诸如纤维丛、张量法和示性类揭示等即是。
总体上显示出的是各种数学思想的移植杂交和综合运用，因而产生了多种新的几何学除黎曼几何外更有辛几何、分析几何等（也产生了拓扑斯、范畴论之类新思想）。
特别是与物理学的深刻结合在探索物理世界前沿的诸如闵氏空间、相对论、量子理论、超弦理论等问题上显得十分活跃。
2.3数学在物理世界最为活跃的两大领域
一是在“数的数学”上。原因是其中的代数四则最为基本地展示了物理世界“线性+非线性”运行特征，特别是（将数元素拓展为一般元素的）“抽象代数”（尤其是其中“群”、“环”理论）在物理世界中更接“地气”（如规范场理论能被简单的刻画为三重“群”等）。
二是在“几何学”上。显然，从研究对象的“形”特征即知几何学是更容易结合到物理世界来的。特别是更具抽象性和全局性的“现代几何学”对处于“后实证主义”时期（亟待引入数学工具）的物理学（及现代信息学）前沿，更是十分契合的，如已谈及的相对论、量子理论等即是。尽管说在这里数、理都遇到了“非典型逻辑”的困境挑战也罢。
3 数、理的几个共同前提：
3.1意识。已谈及“意识”是精神世界的功能体现（是思维的本原），人的意识=显意识+非显意识，继续进化着。科学代表着人类共同意识的先进水平，叫做大意识，简称意识。
意识源于微观，起于原生细胞（系其“虚象”意识基因），历经抽象且漫长的进化过程而来。因此，在未能认识到它的来路只宏观的看到它奇妙的能力表现时，抱以神秘、赋予种种神意实可理解。
好在“终极大自然观”下，“意识”也是可理解的了。
事实上，人类之所以能有“大科学”的今天，之所以能有如此发展渐壮的历程，正是其意识进步进化的显性；人类的宗教意识来自“非显意识”的心理内在（心神外化），随着显意识的进化是会逐步得到澄清的。
3.2逻辑。逻辑来自物理世界的属性（=结构属性+运行属性），或说逻辑是人类意识对物理世界属性的反映（表现为逻辑思维）；逻辑体现为“提问-推理-判定”基本过程，叫做逻辑“轨线”（由节点及其连线构成）；物理世界的逻辑（轨线族）总体叫做“逻辑空间”。
（1）“逻辑空间”可喻为“理想的‘丝瓜绒’网络世界”，网络中节点和连线分布细密且具多个层级；层级愈高其细密度愈高直至显得模糊（这时的逻辑具有了非典型性）；网络中每个节点都能逻辑地沟通其它各个节点（且是多渠道的沟通）；网络空间是构建在有理数集上的，同时是“浸泡”在超空间中的；数理逻辑是严格沿网线行进的，其它逻辑不同程度的表现为可在网线及其邻域上行进 ；物理学目前基本上处在（瓜绒）初中级网络层次，数学已进入到高级层次，但离其“完备象牙塔”尚远（续见“3.1”）。
（2）数理逻辑与数学逻辑。逻辑（表现其精确性）的基本特征体现为（数学上）有理数集上的结构（序、代数、拓扑），也叫关系（包括各种升华扩展意义下的运算关系）。
因此，数理逻辑被赋予了数学寻根的希望，也被认为是最为纯粹客观严格的逻辑学。
但是，现在连数学专业也基本上不开这门课了（尽管数理逻辑学分支尚存），这是为什么？（举个类似例，人们喜欢音乐但音乐存在诸如五音八音十二音之类深刻理论即使音乐家也没几个人研究它音乐仍然发展的很好？）
数学需要数理逻辑，也需要深钻（语句结构本质之类）数理逻辑的人，但数学不是数理逻辑，数学的任务远非数理逻辑的专门任务；数学（出于其深刻性和广泛性）不仅涵存了数理逻辑基本特质，更体现为各种逻辑的综合性与深刻性特征，是个特有的逻辑范畴，可叫做“数学逻辑”。
（3）逻辑空间表现为典型逻辑与非典型逻辑两种。“典型逻辑”表现在数学各个分支的经典内容和物理学的牛顿物理中（相当于较浅级别“瓜绒网”）；“非典型逻辑”表现在物理学前沿和数学各个分支的前沿。
原因是，在物质世界的“前沿”（粒子世界）其空间特征属“临界空间”（续下）其运行特征是超高速的等，使得这里的逻辑特征（相对于经典世界来）产生了实质性的差异。
已知，“临界空间”是粒子世界前沿与超空间的“接壤”世界，这里的粒子更具信息特征能运行于超空间（超光速），这时诸如测不准性、非局域性、量子坍塌、薛定谔猫，等等非经典物理现象，皆系“非典型逻辑”表现（包括薛定谔方程、波函数、狄拉克方程、广义相对论方程等只是定性描述其思想的唯象模型）。
3.3背景：把整体涵容数、理的空间叫做背景空间，也就是终极客观世界，简称客观世界（见第七讲），或说是（物理世界+超空间的）“完备空间”；关键是必须意识到客观世界（对应于数学“无理数集”的）“超空间”的存在（否则只能一直保持为现在这样的迷茫状态而得不到澄清）。
已经表明，超空间概念的得来非同小可，既非猜测亦非武断，但也难作简单验证（现象例证倒是丰富的）。
4 数学的（也是物理的）特征
4.1数学（数理）的两大关隘：完备性、复杂性
（1）完备性：首先，这里的“完备”系指数学在总体上的（绝对性）完备，决定于数学的“根基”；百余年来数学致力于纯数学的寻根至今未成。
本论最终得出，数学的根基藏在“无理数集”的“不可数”本质中（在那里没有“点”概念没有逻辑）；既有数学中所获得的完备性都是相对的、局限的，是在严格公理界定下（局部）实现的。
其实，哥德尔不完全性定理已反衬出，真正的完备系统必须是含有（康托尔强调的）“连续统”的系统。须知，连续统世界中无理数的空间“层次”是高于（且涵容或叫充满而不占据）有理数的（注意到空间层次概念与空间维度概念的本质差异）。
特此，包括建立在有理数上的数学逻辑（空间）都是“涵容”在无理数集（超空间）中的。
事实上（不难理解到），连续统世界（经本论）“对应”到客观世界就是“物理世界+超空间”（完备空间）也。
（2）复杂性：按“系统学”说法：满足非线性、非重复性、非确定性“三性”之一者即谓复杂。显然三性并非独立，也可归为深刻性和不确定性两条。前者如科学前沿问题即是（属“瓜绒网”深层情形）；后者包括模糊（结构混淆）问题和随机（时序预测）问题，都需要竭力去发掘逼近而难以彻底。
当然，这只是从“宏观”上给出的复杂性概念，可否从“微观”（具体）上去深入？根基系统学概念（对系统的通有问题作本原性研究），是可以的，特别是现在有了AI智能手段更为得力了。
注：已知，区区“数论”（自然数集）可谓复杂、区区“群”论（最简运算）可谓复杂，足见其它领域的复杂和逻辑空间之深、细了。且知，每种复杂对象中都涉及无穷，实则一切都是沉浸在无穷（超空间）中的；复杂新表现在有限到无穷之间。因此，揭示出超空间（完备性）也是有助于探索复杂性的。
总之，对于“完备性”一旦认识到即算澄清了（能生效），但对于“复杂性”只能逐步逼近尚难一次澄清。
4.2数学的三大任务：建模、证明、求解
（1）建模：数学总是围绕着相应数学模型（用数学语言陈述出的系统）展开的，特别是新问题必然新建模。
模型总是近似的（精确只在“解模”过程）；模型好坏决定于它对描述对象的近似程度高低；根本上取决于建模者对对象系统的考察思辨认识程度；优秀模型都是经多次修正而成的。
数学模型有三类，一是唯象模型，是用数学语言表现出建模者思想（对系统的数理理解）的“抽象”模型（较多显示在物理学前沿）；二是解析模型，可对模型作典型的分析演绎运作的“软”模型（较多表现在典型数学中）；三是计量模型，是能够给出数值结果的“硬”模型（较多表现在计算数学和数学应用中）。
唯象模型经加工可成为解析模型，解析模型技术化可成为计量模型。
（2）证明：有说“数学是创造定理的学科”，而定理都是（逻辑）证明得来的 ，可见数学少不了证明活动，包括史上不断的种种猜测命题都是需要证明的。
证明是由“因”至“果”的逻辑“推导”过程，常常是给出“果”（如“勾股公式”）需要去找“因”和“推导”来证明它（所以，据说至今有了四百多个“勾股定理”证明呢）。
最“笨”的证明方法是从定义出发的；常常是利用别的定理（结论、事实）作为依据去作证明，更具技巧性。
数学证明（和如下求解）是激励技巧创造和方法创新的（挑战聪明度的）园地。
（3）求解：也说“数学是问题推动前进的”，而经典问题常常是直接需要求解的。
特别是经典数学中的（19世纪中叶）证明了5次及以上代数方程和一般微分方程无通式解之前，求解任务是十分繁重的（实则，代数方程集和微分方程集之中可解子集皆为0测度，或说不可解集具有遍历性）。
即使在现代已归于求解理论的探索了，仍然是个“求解”任务呢。
甚至在计算机科学激起的信息化时代，软件内在也是充斥计算求解任务的。
4.3数学各级分支共同特征（简列）：
（1）各级分支都能直接投影到数的“基底”（有理数集）上来；
（2）各级分支皆（不同程度的）触及到无穷概念；
（3）各级分支前沿皆涉及到深层（非典型）逻辑；
（4）各级分支皆于物理学或其前沿有用，联系最为紧密的是计算数学、抽象代数、现代几何学等。
5 数学（数理）关系小结（简列）：
5.1 数学与物理同在一个（作为宇宙运行属性的）逻辑下。
5.2 尽管各自在方式和渠道上有所不同，但都是在探索和发掘“终极大自然”。
5.3 彼此间存在充分的相互交叉、相互借鉴、互为工具，在所必然。
5.4目前的现实是，数、理前沿都处在越来越艰难的征途中。原因之一是，都处在“临界空间”里、都处在“非典型逻辑”下，因此都面临着颇具挑战性的任务；
原因之二是，人类“大科学”尚未正视终极大自然这一“大象”概貌，仍处迷茫摸索中。
5.5 总之，数、理科学亟待引颈眺望，识破“大象”以澄清视野利于破雾前行。
6 预测数、理的未来？
一是物理学终将（接受数学的启发）进入到认识“终极客观世界”阶段，同时将进一步夯实整个物理学；
二是实轴的空间层次结构及其引出的超空间、大自然基本概念将会作为数理科学特别是数学和高等数学的入门知识一开始便交给学生十分有利于他们往后的学习。
三是整个科学将进入到数理哲生共同发展状态，同时科学对社会的造福将向着深化和细化发展；
四是人性进化虽然会继续成为社会发展的“短板”，但科技-物质的发展对人性进化是有正向促进作用的。
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