赵玉民
原子核内自由而安分的质子和中子 精选
2021-6-17 14:22
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人们常说原子核是强相互作用的复杂量子多体系统;又有人说可以把原子核看作近似自由的气体[原子核的费米气体模型]。那么,这两个图象应该如何协调统一呢

 

毫无疑问, 质子-中子之间、质子-质子之间、中子-中子之间一定有很强的相互作用,否则它们早就一哄而散了。原子核的体积很小,核内质子们和中子们都被“关”在一个大约10的负15次方米的量级[即万亿分之一毫米的量级] 极小空间之内,这些核子具有很大的动量[下文还要提到]。在原子核这些构件[质子、中子]之间存在很强吸引力的这个方面最简单的论据是:由于静电相互作用与电荷距离平方成反比,因此质子之间就会有极强的静电排斥力;单凭这个排斥力,假如没有更强的相互作用来约束,质子绝对无法老老实实地被“封印”在原子核这个万亿分之一毫米量级空间的“小瓶子里。质子们和中子们之间相互作用相对于我们熟知的电磁相互作用而言,要大很多倍;因此这种相互作用被称为强相互作用。

 

既然这个相互作用那么强,那么这些质子们、中子们 [为了方便,我们像在教课书中那样,把质子和中子统称为核子这就像生活中把某些人称为老赵家、老李家一样,省得老是一个一个地说, 那样太麻烦] 一定是很难受的吧。人们容易想到的是,存在强相互作用的这些核子们相距那么近,一定会“产生矛盾”、甚至“打架斗殴”。在生活中我们就经常看到,现在社会上的许多年青人在组建小家庭后不希望和老人在一起住,就是因为担心离得太近、相互干扰,什么婆媳矛盾、什么代沟之类等导致家庭关系不和谐。本文讨论的问题正是这个很容易想象的“担忧”:原子核内的核子们在原子核内究竟是安分守己、自由自在,还是苦大仇深、矛盾重重、拥挤不堪?

 

而为了讨论和解释这个问题,本文这里从以下二方面着手:(1) 核力强度和核子密度,(2) 核子在核内的势能和状态。

 

 

[1] 核力强度和核子密度

 

为了讨论核子的状态,我们先看看核子之间相互作用强度和核子密度。这一点在回答本文的问题在逻辑上并不是必须的,但是只有知晓了这一点之后,我们才可以理解原子核内核子的能量为什么“刚刚好”地就那么大、为什么说原子核系统非常精巧;只有知晓了这一点,我们才能对于原子核内的单核子势能有一个相对而言更全面深入的认识,而不是简单地就事论事。

 

我们先看看核子之间的相互作用到底有多强。图1 是原子核内单核子平均相互作用势能的示意图,核内的核子之间在 大约 1.4 fm (fm 为长度单位、等于万亿分之一毫米) 时相互吸引力最强,平均相互作用能量在100 兆电子伏特的量级。我们千万不要觉得这个能量很小,我们对照一下我们生活中的能量就知道这个能量是不得了的:C燃烧形成一个二氧化碳分子,一个这么“庞大”[一个分子内有44个核子、28个电子,每个原子的体积都比原子核体积大百万亿倍] 分子化学反应放出多少能量呢? 只有区区的不到4个电子伏特 [1 摩尔的碳燃烧生成二氧化碳的释放热量为 393.5 KJ)]

 

 

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1:核内单个核子平均势能与核子之间平均距离的关系 示意图

 

 

当然, 这个 100 兆电子伏特的量级不仅对于常见的化学反应而言实在太大,对于原子核来说其实也是过大了。原子核内单个核子平均结合能一般在7-9 兆电子伏特之间、绝大多数是7.58.5兆电子伏特之间。而我们熟知的原子核内核子之间的距离也不是1.4 fm, 这个距离有点儿太小了;除了极其个别的情况外(例如晕核状态),核内核子之间距离一般在2.4 fm 左右,这是怎么一回事呢?!

 

   作为一个量子系统,原子核具有量子系统的神奇之处。在量子世界里,一个粒子被局限在某一个区域内, 那么就有一个动量的不确定,即不确定关系;也有人把这个量子系统的这一特点称为测不准原理。总之,核子被限制在核内,就会有一个与生俱来的动量。在量子统计中,(全同) 粒子的密度越大、粒子平均动量越小,对应动能也越大。简单计算可以知道,核内核子平均动能与核子之间平均距离的平方成反比。在原子核这么小的体积内容纳很多核子,核子密度很大,因此平均核子动量是很大的。如果把所有核子从正常的密度即平均距离为2.4 fm 左右缩小为1.4 fm, 那么动能将变为原来动能的 (2.4/1.4) 的平方那么多倍 [约等于3], 在这种情况下,核子平均动能和平均势能之和大于零(见图2)!而如果核子之间的距离在1.4 fm 基础上继续减少,那么核子之间的势能迅速增加很快变成排斥势、动能也极快增加,因此在核子之间距离比1.4 fm 还要小的情况下 单核子平均总能量就实在太高了。可见,原子核内核子之间的距离不会为 1.4 fm 那么小;这个距离的长度一定比 1.4 fm 大。

 

实验表明,一般原子核内单个核子的平均相互作用势能与动能之和在核子平均距离在 2.4 fm 左右时取得最低值,这个“平均总能量”示意图见图2中的红色曲线。因此,原子核实际上是相互作用势能和与生俱来的动能相互协调的、非常精巧的束缚系统。密度很大的全同费米子具有很大的动能,这是量子世界的神奇之处。在原子核这样的尺度上量子系统的这一特性表现很突出,也是非常重要的。

 

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2 核内单核子平均动能(黑色铅笔曲线)、单核子平均总能量(红色曲线)

与核子之间距离的关系 示意图

 

那么,这个平均核子之间距离(2.4 fm) 到底是否拥挤呢? 前面已经提到,核子之间的距离约为 1.4 fm 时势能最低,只有在核子距离小于 1.4  fm 时核子势能才是排斥的。假如[我说的是假如!] 核子不受Pauli 原理限制,核子与生俱来的动能不存在,在核子之间距离变小为1.4 fm 的、核子分布比较“紧凑”的情况下,核子密度将变成正常密度的 (2.4/1.4) 三次方的那么倍,这个倍数约等于 5 也就是说,其实原子核内空间方面可以说还是蛮宽松的,而不是我们通常直观上的核子密集堆积、不是想象中过于拥挤的状态。

 

作为题外话这里加一句:在学习基础化学和固体物理时,人们知道离子晶体内钠离子和氯离子之间(平均)相互作用势能的最小值就是晶格的长度,完全决定了钠离子和氯离子之间的距离。在那种情况下没有任何关于离子“与生俱来的”动能方面的讨论。这是因为那里的离子太稀疏、密度实在太低、这种动能实在太小太小了,每个钠离子空间为埃米量级[亿分之一厘米],不确定性的动能比核子那样密度相比,动能约小了10 个量级,而核子质量比一般离子的质量又小了一个量级以上,因此在讨论晶体和分子结构时从来不用担心这些离子的“天生”的动能。可见,对于不同空间尺度下的物理系统,量子特性的表现程度可以完全不一样,在费米尺度上核子“天生自带”的动能对于正常核子密度数值具有直接和重要的影响。

 

2、核子在核内的势能和状态

 

我们上面看到,原子核是动能和势能两部分相互妥协的、精巧的核子系统。与核子势能和动能相比,总的结合能其实是比较小的。我们知道原子核一个很简单性质:几乎所有原子核内单个核子的平均结合能大约在 7.5-8.5 兆电子伏特。换句话说,核内的核子之间总能量基本正比于核子数,这说明在原子核这样的尺度上,核子之间的相互作用是短程的,即核子主要与距离非常近的其它核子之间存在相互作用,核力在原子核的尺度上是短程的;距离稍微远一点儿的相互作用就可以忽略。 这样一来,核子感觉不到稍远处的核子是否存在、远处是否存在核子其实完全不重要。基于这个原因,某个核子的势能主要反映了它所在处的其它核子的密度,密度大则其它核子对该核子产生的势能就强、密度小则这个势能就弱 [因为核子相互作用主要是短程吸引的,这个势能是负数]

 

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3:原子核内核子的密度(黑色铅笔实线)、单核子势能(红色波浪线)

随着核子距离原子核坐标的距离 r 关系 示意图

 

实验上已经知道核子的密度有点像统计物理中在有限温度下费米气分布一样,原子核内部的核子近似是均匀分布、外边缘处密度逐步下降;而由上面讨论知道,单个核子在原子核内所感受的势能与这个密度成正比例[只是差一个负号]。所有核子都一样,感受的势都是这个样子;内部受力为零,而外部感受一个吸引力。这是很容易理解的,我们都有这样的经历或者至少听说过上下班高峰挤地铁;在相对稳定的状态下,在极度拥挤的人群内部每个人大体是受力平衡的,只有在边上才需要自己再用力气来维持平衡。

 

 

这篇讨论原子核的整体性质,处于内部的这些核子数一般远多于边缘处的核子数,因此我们暂时不管那些在边缘处核子们,而聚焦于处于原子核内部的状态。如图3所示,处于内部状态的核子们由于一个吸引势而束缚。这些核子在这样的束缚势内存在一系列的量子束缚态。这些量子态的细节由量子力学的一个基本方程[薛定谔方程]来决定。那么,这些状态上的核子在这些状态上是怎样的呢?

 

核子和有些粒子不同,它是费米子,具有排他性;一个量子态上不能占据两个全同的费米子,这个特点称为泡里(W. Pauli)原理, 在中学的化学书上被称为泡里不相容原理。因此这些量子态上一个萝卜一个坑地占据着核子,一直往上积累。有些核子能量低,有些核子能量高一些。当然,最高的核子是处于边缘处的核子们;这些核子感受吸引的势能相对弱一些, 通常就是所谓满壳层以外的所谓“价核子”们了。

 

有了这些认识,我们就很容易回答本文开始时提出的问题了。只有边缘处的那些核子们可以在高能量的量子态之间稍微伸伸胳膊、踢踢腿;处于核子内部的核子们填满了那些低能量的量子态,在原子核激发能量不太高的情况下,内部核子们只得老老实实地待着,它们是没有办法跑到其它量子态上去。这就像极其拥挤的地铁列车到站时,那些站在列车里面的人需要很大的力气才能出站一样;可惜原子核内部的核子能量实在不够[否则课可以跳入龙门--跑到很高的、没有核子占据的轨道上去],而且周围的“核子同胞们”谁也没有办法稍微客气一下让那个心里不安分的核子的处境略微“宽绰”一些;处于低能量轨道上的绝大多数核子几乎没有什么办法来改变它们各自的“生活”状态!

 

这就是说, 处于原子核内部的核子们规规矩矩、老老实实,几乎不越雷池一步。它们只是在既定的“轨道”上运动,状态难以改变。周围核子的存在只是给核子提供了一个既定轨道,核子之间相互作用确实很强,但是这些相互作用的总效果只是一个近似为常数的势场外[其它周围核子也感受同样的势场],再没有太多别的东西,这就好比经典力学中粒子所处位置的势能等于常数、因而粒子受力为零的情况。因此,理解原子核的所谓粗块性质 (bulk property)时把核子看作没有相互作用的费米气体,其实也是很自然的。因为除了一个各向同性的、近似为常数的势场以外,核子几乎感觉不到其它的相互作用,所以,核子们在原子核内其实是很自在的!!!

   

3、总结

 

总而言之,原子核是一个“自组织”系统,这个系统的基本构件之间存在以[在原子核尺度上]短程吸引为主的强相互作用。这个强相互作用对于单个核子的主要效果是,对于原子核空间“内部”核子构贡献了一个各向同性的、近似为常量的势阱 [示意图见图3],在这个势阱内的核子有一系列量子状态,每个量子态上有一个核子。在原子核处于基态(能量最低态)或低激发态时, 原子核内部空间的核子们因为周围的量子态都被占据,实在无法改变运动状态[就象电视剧里那句经典台词:臣妾做不到啊!] 这些核子只能老老实实、本本分分,哪里也去不了;当然,另一方面它们也很自由。这就是为什么强相互作用的原子核内的质子和中子却可以看作是自由的核子[费米]气体的一个简单图象。

 

初看起来很矛盾的图象其实是统一的,这种情况在自然科学中并不少见!


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