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学习微分几何——开集和连续性

已有 9417 次阅读 2011-12-28 08:18 |个人分类:电脑围棋|系统分类:科研笔记| 微分几何, 电脑围棋

为什么要定义开集?原来是因为要摆脱距离来研究点之间的“相邻性”。
什么是“度规”?原来就是计算距离的函数,就叫度规。
“邻接”和“距离”的分离:通常我们认为两个邻接的事物,其距离就为零。如果它们之间有距离,还说它们是“邻接”的,就不太好理解。数学的精妙就表现在:它能把我们通常的很普通的一些观念,用更精确的手法进行辨析。把邻接概念和距离概念分开,说:邻接和距离无关,意味着两个概念脱钩了,各是各的含义。那么,与距离脱钩的邻接概念要和谁挂钩才好理解呢?我们知道,空间是顺序位置点的集合。位置距离是与位置脱不了勾的,那么,邻接当然就和顺序脱不了沟。邻接的意思就变为:不管2点之间有多远的距离,如果要从一个点A“走”到某个其他的点C时,如果一定要先经过点B,那么,就说A和B邻接。这么一理解,“拓扑”的味道就出来了。“拓扑”的味道就是:不管点之间的距离关系怎么变,只管点之间的顺序关系不能变,看空间怎么变也变不了的东西是什么。
 
度规这个概念该死,把计算距离的方法这么简单的含义用2个不熟悉的字一叫,就让非数学专业人士吓跑了一半。也不该死,有了这2个字,就不要总重复说“计算距离的方法”这7个字了,说起来听起来更简单一些——就是我们要知道,脑子里稍微转个弯就行了。
“邻域”,就是相邻的区域,区域,当然是点的集合,就是与一个点相邻的点的集合。就是一个渔网的一个点,四周连着那些其他的点。
“开集”,就是一个基本的点的集合把每个点的领域都拉进来的集合,就是开集。呵呵,围棋子串是一个点的集合,把一个串的“气”全包进来的集合,就是一个“开集”。
 
接下来书上开始讲流形上的连续映射了。
且慢!
我还没有消化“流形”的概念呢?
回头看流形的概念,侯老师是这样说的:n维流形的局域象n维线性实空间。也就是说,n维流形是一个任何局部都是一个n维的线性实空间的空间。看起来不难理解,可要小心理解这个概念,不要太轻视了哦。一维流形就是一条“光滑”的曲线,因为曲线被分到足够小小段连接而成的时候,就可以认为,每个小段都是一个直线段,这是微分的知识。每个直线段,就是一个一维线性实空间的一个局部。当然,二维流形就是局部是“平直的”足够小的正方形。
理解“流”这个词其实很重要,流不是简单的平移,而是顺着某个方向平滑地移动。所以,有“流线型”的说法,现代视觉设计是很讲究“流线型”的,尤其是汽车、飞机等的外形设计,因为不仅可以让我们觉得好看,还能减少汽车飞机的运动阻力,或许“顺着”,“减少了阻力”,正是我们觉得美的原因吧。
二维的流形,一般理解也有点怪:平直的正方形,要“顺着正方形”的平面方向光滑地平移的话,平移的结果,不是依然是一个平直的平面吗?这是因为,一般的理解,没有把正方形理解得“足够小”。就象浮在波涛起伏的大海上的指甲盖大小的一小张正方形纸,浮在在波涛起伏的任何地方,都可以“认为”,这小片纸,依然是“平直”的。
突然想到这是很有意思的哲学辨证法的味道:要想得到精确,必须先近似。这是因为永远没有绝对的精确,只有近似地认为一个足够小的单元是精确的,才能拿这个“精确”去丈量其他的事物,得到其他事物的“精确”。
原来数学,也需要哲学思辨的支持。
 
流形的概念就算我理解了,到高维,无非就是在每一维度上存在偏导数的平滑变化,这点微积分基础我还是有的。
侯老师说的另一句对流形的“确切定义”反倒暂时还不能被我理解:流形是这样一个Hausdorff空间,它的每一点有一个含有该点的开集,与n维线性实空间的开集同胚。
我还是清醒的:暂时不能让我理解的只是其中的“Hausdorff空间”和“同胚”这两个词语的确切含义,并不是“流形”的概念本身,所以,不用着急,它们肯定说的是流形的某个特性,过不了多久,我一定会“知道”的——就象我“知道”度规,只不过就是计算距离的方法而已一样。
 
再来看“流形上的连续映射”说的是什么?
是2个流形之间的映射,当然是空间中的点对点的对应关系,可以用一个函数来表示,实际上就是如何在2个流形之间进行变换的问题。为什么要提2个流形之间的变换问题呢?因为把一个流形做出一种各点之间距离的变化,但不改变各点的邻接关系的话,一个流形就变成了另一个流形,前后就是2个流形,假设促使变化产生的方法是同一个,那么,这个方法就是映射函数。
 
这里,顺便介绍了闭集和开邻域的概念。
闭集的陈述好理解:是开集A在集合S中的补集。
开邻域的表述有点拗口,屡直了说应该是这样:开邻域是指S中含有点a所属的某开集的子集。
闭集是针对开集所说;开邻域是针对一个点的邻域来说的。
在围棋盘上说:
棋盘上除了一个棋串和它的气组成的开集以外的部分,是一个闭集;
而开邻域,则是包含了一颗棋子和这个棋子四周邻接的位置的区域的区域。
先学到这。


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1 杨华磊

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