一、两边拼接正方形与内接圆关系

1. 以两边a,b拼接为边长的大正方形面积：S = (a+b)² = a²+2ab+b²

2. 考虑拼接边a,b与内接圆半径R的关系:

(1) 令：a = (1+η)R；  b=（1-η）R

(2) 大内接圆面积：πR²

(3) 对接点偏心率：η=（a-b）/(a+b)

3. 两边自成正方形（浅蓝填充部分）对角排列于大正方形内，其余部分镂空。

(1) 有镂空单元面积：ab=(1-η²）R²

(2) 有镂空矩形部分总面积：W=(a+b)²-(a²+b²)=2ab=(1-η²)*2R²

4. 将两小正方形内接圆上下平移到大正方形内接圆内，大内接圆其余部分镂空。

有大内接圆镂空部分面积：

W_c=π((a+b)/2)²-(π(a/2)²+π(b/2)²)

=((a+b)²-(a²+b²))*(π/4)=W*(π/4)

5. 令W₀=2R² (a=b时矩形镂空面积)

(1) 圆对数公式：W=(1-η²)*W₀ (a≠b时矩形镂空面积)

(2) 圆对数：1-η²=W/W₀

二、阴阳鱼

6. 大内接圆内的上下两半镂空分别与两小内接圆形成“阴阳鱼”图案。

7. η=0为平衡阴阳鱼。η≠0为非平衡阴阳鱼。

(1) a鱼为阳鱼，面积为a圆面积和半个镂空区域面积之和，为：

W₊=π(a/2)²+W_c/2=π(1+η)R²/4+π(1-η²)*R²/4=(2+η-η²)πR²/4

(2) b鱼为阴鱼，面积为b圆面积和半个镂空区域面积之和，为：

W-=π(b/2)²+W_c/2=π(1-η)R²/4+π(1-η²)*R²/4=(2-η-η²)πR²/4

三、小结：

圆对数公式表达的是非平衡状态下镂空面积和平衡状态下镂空面积的比例关系。

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