量子力学的解释，大致可以分为两大类．一类立足于量子力学理论体系之外，例如统计解释、流体力学解释等；一种立足于量子力学理论的自洽性本身，例如哥本哈根解释、多世界解释等等．这两类解释，有其完全“不可通约性”(incommensurability)的部分．所谓不可通约性，是库恩提出的一个重要科学哲学概念．尽管经过库恩的若干次阐释和澄清，“不可通约性”的精确含义还是不易把握．不过可以肯定的是，这是一个很妙的思想．库恩提出“不可通约性”，一定受到了经典力学到量子力学这个科学革命过程的启示．一个典型的例子是，不能借助于经典力学的粒子概念来肯定或者否定量子(微观粒子)概念，反过来也如此．也就是这两个理论中的粒子概念就具有不可通约性．

“不可通约性”广泛存在．爱因斯坦和玻尔理解的量子力学就具有不可通约性．这一点上，爱因斯坦比玻尔深刻，他把这个概念视为当然，而玻尔似乎缺乏这根弦．就玻尔和量子力学解释的论争而言，吴大猷先生的总结很好地说明了这一点：“Bohr的争辩，颇似站在欧克里氏几何的公理上，坚拒建立非欧几何的企图然．” ^[1]“许多哥本哈根学派的物理学者，亦仅知量子力学本身的‘能自完其说’，但基此而讥笑爱因斯坦，是未明爱因斯坦的冀求，是基于一不同的哲学态度也．”^[1]换言之，量子力学的统计解释暗含了被系综中系统或者个体成员的存在．在这一点上，玻尔没有理解爱因斯坦的解释中具有和哥本哈根解释不可通约性的部分．

量子力学的统计解释和正统量子力学不可通约性的关键点是：前者暗含了被统计系统的存在．如果讨论系统概念，正统量子力学和统计解释的理解不可通约．在统计物理中，系综是建立在系统的基础之上的，也可以说，只有一个个(无限多个)成员才能组成一个系综．在正统理论中，没有系统和系统的差别，量子力学的波函数为单次事件，照样提供了竭尽无遗、充分完备的描述．

就量子力学的统计解释和正统量子力学不可通约性，至少有过三方面探索．第一是爱因斯坦探索；第二是统计解释“发言人”的理解；第三是中国人的贡献．下面分别论述之．

一，爱因斯坦的统一场论之梦：在把量子力学推导出来

统计解释认为目前的理论包含了有些目前未知的更加基础性的变量例如隐变量的存在．而量子力学中之所以出现概率，是由于这这些隐变量做某些平均的结果．爱因斯坦的个人努力要比这些来得深刻，他在追求统一场论．1923年，他在《普鲁士科学院会议报告 物理数学类》发表论文《场论为量子问题的解决提供了可能性吗？》^[2]，论文提出了统一场论的理论纲领：1，广义协变性；2，方程必须和引力理论和麦克斯韦理论一致；3，超决定性方程组应该具有静态理论球对称解以描写电子和质子．他穷其一生的努力，仅仅获得了有限的成功．参考图1．在爱因斯坦的梦想中，广义相对论和恰当的微观理论都仅仅是两个子集，现在的量子论又仅仅恰当的微观理论的一个子集．

爱因斯坦的传记作家Pais总结说：“爱因斯坦一直在寻在线索借以帮他从统一场论导出量子论的理想图景，然而总是徒劳的。”^[2]暮年时，“爱因斯坦也开始怀疑自己的理想图景了”。^[2]

在笔者看来，非相对论性量子力学框架内，约束体系就不满足广义相对论中的那种广义协变性。或者说，必须修改广义协变性的定义，才能适合非相对论性量子力学。^[3,4]

二，统计解释对系综中系统的预言

量子力学的哥本哈根解释没有发言人，但是量子力学的统计解释有权威的发言人，他就是加拿大Simon Fraser大学的Ballentine教授。他在1970年写出的量子力学统计解释的综述性论文[5]，至今仍然是这个领域的标准文本。在这篇文章中，他对平面波和微观粒子之间的关系，有如下预言：

“Thus a momentum eigenstate (plane wave in configurationspace) represents the ensemble whose members are single electrons each havingthe same momentum, but distributed uniformly over all positions.”^[5]

这个预言超出了哥本哈根解释，它预言了系综中单个成员的存在。而且这个成员是单个粒子在一维空间中的均匀分布之后才形成平面波。注意，统计解释并没有说这一单个粒子是经典的粒子或者量子的粒子，而是一个等待进一步定义的概念。

对均匀磁场中电子的量子运动，Ballentine在他的教科书中给予详细的说明。

这一系统的正统处理如下。这个问题是Landau“十诫”之一(排位第三)。选矢势为

统计解释认为，对这个波函数的理解需要系综中单个成员的存在: ^[6]

“Roughly speaking, we may think of the state function (2)(原文公式编号为11.29) as describing  an  ensemble  of  circular orbits whose centers are distributeduniformly along the line y = y₀. That this picture is only roughly accurate can be seen from the quantumfluctuations in the orbit size, as evidenced by the exponential tails on theposition probability density in the y direction.)”

单个成员呈现圆周运动，和(3)式给出的图像完全不同．而(3)式给出的图像，不过是系综的图像而已．

因此，可以把量子力学统计解释中，描述系统或者成员的理论不属于正统的量子力学．可以把它们之间的关系总结在图2中．

三，“双波理论”满足统计解释对系综中单个系统的预言

尽管统计解释预言了系综中成员的存在，却没有给出这个成员的具体性质。对这个成员的理论描述，一定超出正统的量子力学理论体系。在这方面，北京大学黄湘友教授的工作最为成功。

1986年，对自由粒子，黄湘友发现了如下一个数学等式^[7]

   这里，我们看到了明显的不可通约性。我们不能因为通常理论中的不确定性关系，来说明(11)-(12)式就是错误的。也就是不能因为欧式几何中过平行线外一点只能作一条直线和已知直线平行，就否定非欧几何中作出的无限多条“直线”和已知“直线”不相交就没有意义。这是因为，此“直线”不是彼直线。

 四，小结

无论是爱因斯坦，还是统计解释“发言人”都认为，正统的量子力学存在进一步的结构，这个结构超出了量子力学的理论框架．现在，统计解释暗含了系综中系统的存在，也就是可以系统建立理论，然后在系综内把量子力学恢复出来．“双波理论”正式这方面最成功的探索．

系统这个名称，在正统量子力学和统计解释中是完全不同的概念，具有不可通约性．

参考文献

[1]吴大猷，量子力学(甲部)，(科学出版社，北京，1984)，p.201-202

[2] 阿伯拉罕﹒派依斯，上帝难以捉摸----爱因斯坦的科学与生活，方在庆、李勇译（广东教育出版社，广州，1998) p.540-543

[3] Q. H. Liu,L. H. Tang, and D. M. Xun, Phys. Rev. A., 84(2011)042101.

[4] Q. H. Liu,J. Math. Phys. 54, (2013)122113.

[5] L. E. Ballentine, Rev. Mod. Phys. 42(1970)358

[6] L. E. Ballentine, Quantum Mechanics: A ModernDevelopment, (2nd Ed.) (World Scientific，Singapore, 1998) p318

[7] X. Y. Huang, Phys. Lett. A , 115(1986)310

[8] S. Sasabe, Electrical Engineering in Japan, 132(2000)1

[9] 黄湘友, 完全性量子力学, (科学出版社，北京, 2014)

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