“院士”问题:考虑两列全同波,二者的频率、相位、振幅和传播方向均相同,设振幅为 $ A $. 叠加前,能量为 $ A^2/2+A^2/2=A^2 $; 叠加后,振幅为 $ 2A $,能量为 $ (2A)^2/2=2A^2 $. 问,多出的能量 $ A^2 $是那里来的?
这位朋友不打诳语。他这告诉我这个问题顺便提及是一位工程院院士几年前问他的问题,相信他为了吸引我的注意。我不相信院士会提出这一问题。如果是院士提出,只有两种可能性:第一,开玩笑;第二,测试下课题组的年青人是否思考过一些教科书中的疑难问题。
因此,如果把回答这一问题当成多么正经的事情,那就上当了。
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这个问题使得我回想起当年自学物理学时荡人心魄的岁月。19岁-23岁这四年间,我在郑州市西郊的一家大型国有企业做电气技术员,同时自学物理。自学公认最难的物理课程,为什么能坚持四年?因为能学懂!学懂本身是一件非常大的回报,英文说rewarding,佛教谓福报,物理学认为是共振。
翻出当年的课本,把有关页面复印在下。(试问君,读过0.76元一本的经典否?
书p.41上,给出了能量的定义。这个能量是个瞬时值,可以是一个复数。在p.127上讨论观测值的时候("实际上我们只需用到他们的时间平均值"),能量才必须是一个实数!p.127这一页给了我重大的启示:1,能量流和相速度相联系,那么相速度至少在某种意义上具有观测意义,而不是说,只有群速度才有观测意义;2,给一个波动,观测意义上的能量只有一个数值;3,哲学上,可以先定义好理论量,这些量描述实在,而实在不见得直接反映到观测中。
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“院士”问题严格表述及其答案
考虑理想弹性介质中传导的一维波动,形式如下 $ ψ(x,t)=A sin(kx-ωt) $ . 单位介质中的能量平均能量密度是 $ E=1/2 (ρω^2) A^2 $ . 选择适当的单位制使得 $ ρω^2=1 $,即 $ E=1/2 A^2 $.
问题可以重新表述如下:在同样的介质中,给出如下波动, $ ψ(x,t)=2A sin (kx-ωt) =ψ_1 (x,t)+ψ_2 (x,t) $, 其中,$ ψ_i (x,t)=A sin (kx-ωt), (i=1,2) $. 根据能量的定义,$ ψ_i (x,t) $ 具有相同的能量密度 $ E=A^2/2 $,但是$ ψ(x,t) $ 的能量密度为 $ 2A^2 $. 多出的能量从何而来?
答案:如果两个波$ ψ_1 (x,t)和ψ_2 (x,t) $ 分别激发,能量密度分别为$ A^2/2 $. 如果先激发一个波$ ψ_1 (x,t) $,到达某点$ p $ 之后,激发一个波$ ψ_2 (x,t) $,并让两个波相干,相干的时空区域足够大,可以用一个新的波$ ψ(x,t)=ψ_1 (x,t)+ψ_2 (x,t) $进行(近似)描述. 为了维持新的波动$ ψ(x,t) $,只有不断激发$ ψ_1 (x,t) $和$ ψ_2 (x,t) $,即不断输入能量. 因此,波动的数学分解,根本不能理解为实际上存在这个分解。
启示:数学是物理学的工具,而不是指导。数学服从物理,而不能反过来!
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