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注:本文是笔者对本科数学分析类课程的总结。这里所讨论的数学分析是指“大分析”,包括古典微积分、实分析、复分析、流形上的微积分、点集拓扑、微分几何、广义函数、Fourier分析等。
1. 所谓极限,在不同的场合有不同的含义,这取决于背后的拓扑。例如,我们在刚开始学微积分时就会碰到的数列极限,其实是在欧氏拓扑意义下的收敛;闭区间上连续函数列的一致收敛,其实是在连续函数空间C[a,b]上装备了一致拓扑;Riemann积分的定义也用到极限,不过那里的收敛指的是网收敛;广义函数序列的极限其实是某种弱拓扑意义下的收敛等等。
2. 所谓微分,一言以蔽之,就是映射的局部线性化。所以曲线的切线、曲面的切平面、欧式空间中开区域上实值函数的微分、流形间光滑映射的切映射等都是微分。
3. 在数学分析里我们都学过实数完备性定理。细心的人会发现如果一个命题可以用有限覆盖定理从正面证明,那么往往也可以用闭区间套定理或致密性定理去反证。这是因为有限覆盖定理是从局部到整体,而后者刚好是从整体到局部,非常有趣!
4. 如果从函数的光滑性来看,实变函数论处理一般的可测函数,古典微积分研究连续函数,PDE和广义函数论中出现的试验函数是无穷次可微的(紧支集)函数,此外还有实解析函数以及对正则性更为“敏感”的调和函数(后者可作为Laplace方程Dirichlet问题的解)。
5. 研究流形上的微积分,首先要做的便是“参数化”。只有参数化了,我们(像在欧式空间上处理古典微积分那样)做具体的计算(至少在局部上如此)。l
6. 逆映射定理不仅重要,而且很美。它告诉我们一个映射是局部微分同胚如果它的切映射是同构,其中再次体现了微分思想的深刻,耐人寻味。
7. 多元微积分最重要的定理当属Stokes定理(流形上微分形式的积分)。古典微积分中的Green公式、Gauss公式、Stokes公式都是它的特例,这些定理的共性是建立了区域内积分与边界上积分的联系。
8. 单复变函数论主要研究全纯函数的性质。复分析之所以成为一门独立的学科,是因为“复数域上的微积分”与“实数域上的微积分”有着本质区别。例如,复变函数在区域上一次可导则任意次可导,实变函数就没有这样的性质;复变函数有所谓的唯一性定理,即两个全纯函数如果在区域的一个很小的子集(该子集有聚点即可)上相等则它们在整个区域上恒等,实变函数也没有这样的性质;复变函数除了Taylor级数还有Laurent级数,而后者是复分析独有的理论;个人认为(本科)单复分析中最重要的定理,除了Cauchy积分公式就是Riemann映射定理了,该定理指出复平面上(满足一定条件的)两个单连通区域如果拓扑等价蕴含全纯等价,这真是一个石破天惊的数学发现,要知道(在普通人眼里)这两个性质可是相差十万八千里呢!
9. 古典微分几何主要是讲曲面论。曲面有第一基本形式,凡是能从第一基本形式导出的性质称为内蕴性质。刻画曲面在一点附近的弯曲程度有一个最重要的概念叫Gauss曲率,它可以通过曲面的第一基本形式和第二基本形式来定义。然而,Gauss的绝妙定理告诉我们Gauss曲率仅依赖于曲面的第一基本形式,它是一个内蕴量!这一开创性的工作表明人们完全可以用内蕴方法研究几何空间。在此基础上,Riemann及其后继者们开创并发展了高维流形的内蕴理论,从而产生了Riemann几何学。
10. Lebesgue积分思想的精髓在于“分割值域”(而古典的Riemann积分是在分割定义域)。Lebesgue积分讨论的主要对象是空间L^1中的函数,而从Fourier分析角度讲,性质最好的L^p空间是L^2 ,因为它有着完美的正交性(这是分析学家最喜欢的)。
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