张洪
我们如何理解希尔伯特的无限思想(全面)
2021-8-1 13:41
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我们如何理解希尔伯特的无限思想

(文章已发表在美国哲学与历史研究杂志上,地址:http://www.scholink.org/ojs/index.php/jrph/article/view/4057

张洪   周洪强

 

【摘要】我们知道希尔伯特的无限思想深刻地影响、改变了20世纪的数学发展,然而他的无限思想本身存在着内在的矛盾,他把对无限的认识建立在康德的直觉和“有限主义原则”之上。本文基于黑格尔辩证无限观对其无限思想进行了分析,指出其无限认识的不彻底性。

【关键词】希尔伯特,辩证无限观

 

我们知道,希尔伯特是人类近代历史上最伟大的数学家之一。他在巴黎第二届国际数学家大会上(1900年)提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的至高点。对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,因此希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”,他是天才中的天才。

希尔伯特对数学界的影响还特别体现在他对无限的认识上,他的无限思想深刻地影响、改变了世界数学发展的进程。在他的《论无限》那篇文章中有一段激动人心的内容:“自从远古以来,无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感。几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智。然而也没有任何其他概念比它更加需要阐明”([1],p.212)。然而他的无限思想存在着自我矛盾,我们如何去正确认识他的无限思想呢? 

希尔伯特无限思想的矛盾主要表现在:一方面,他承认实无限的存在(客观存在或逻辑存在)和合法地位,充分肯定了康托尔(Cantor)的实无限理论,指出“任何人都不能把我们从康托尔给我们创造的天堂里驱逐出来”([1],p.219)、“尽管如此,无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位,起着一个不可缺少的概念的作用”([1],p.214)、“在我看来,这理论是数学天才的最精美的产物,而且是人类纯理智活动的最高成就之一”([1],p.216)。另一方面,他又认为我们无法在现实世界中找到无限,我们只能通过有限性才能掌握无限。他认为,“利用纯粹思辨证明空间的无限性的企图中包含着重大的错误”([1],p.213-214)、“前面我们已经看到,不论依靠何种经验、观察和知识,在现实世界中无处能找到无限”([1],p.220)。与此同时,希尔伯特又高举数学确定性的大旗,坚信数学的有机统一,提出“我们必须知道,我们必将知道”,认为通过有限性的方法我们完全能掌握真理。他在文章中指出,“正像对无限小的运算被对有限的运算代替而产生完全相同的结果和导致完全相同的优美的形式关系一样,以无限为基础的演绎法一般地也必须用有限过程来代替,这些过程产生完全相同的结果,也就是说,它们使相同的证明链和获得公式和定理的相同的方法成为可能。”([1],p.211)   所以希尔伯特无限思想的矛盾深刻的体现、反映了主客体间的核心矛盾,即有限无限矛盾。

那么,我们如何来理解他的矛盾的无限思想呢?

 

一、  为什么希尔伯特要坚持用有限主义原则来解决无限问题?

 

众所周知希尔伯特坚持用有限主义原则来解决无限问题,作者分析有如下几个原因:

首先,他看到了魏尔斯特拉斯用潜无限方法为数学分析奠定了严格而牢固的逻辑基础,解决了由无穷小概念所产生的各种困难,认识到潜无限作为一个有限方法是把握无限的一个很有用、可靠的工具。他在文章指出,“魏尔斯特拉斯的分析确实通过把有关无限大和无限小的陈述归约为【有关】有限量之间的关系【的陈述】而消除了无限大和无限小。”([1],p.210)

其次,作为康德哲学的忠实信徒,他认为在物理现实世界中无法找到无限,无限是一个作为理性概念存在于经验之外的假象,是某种依靠直觉的东西。他说,“我们也必须认识到,仍旧在演绎法中使用的无限总体意义上的无限仅仅是一种假象而已。”([1],p.211) 因此在他看来,“无限总体”是一个假象、只能作为理念概念出现,实无限不属于可能经验的范畴。正是这种“不可经验性”决定了我们人类认识无限的困难,导致不同学派提出了不同的认识方法、途径,包括唯物的、唯心的。

再者,从艺术角度上看,他也不愿放弃实无限思想,因为他看到了数学分析基础(经魏尔斯特拉斯严格化的基础)、康托尔的无限集合理论的优美之处,看到了“实无限”对数学理论的不可或缺性。他是如此的欣赏数学分析之美,在文中他写到:“在某种意义上,数学分析是有关无限的交响乐。”([1],p.215);“尽管如此,无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位,起着一个不可缺少的概念的作用。”([1],p.214)

最后,在他的思想深处他认为,世界是可以认识的,数学的确定性是一个不可违背的哲学信念。他说:“我的理论的目的在于一劳永逸地建立数学方法的明确可靠性。”([1],p.211);“应该看到,作为数学家,我们是站立在精确科学研究的高山之巅。除了义不容辞地担当起这个崇高的职责,我们别无其他选择。”([2],p.202)  纵观希尔伯特的一生,都在致力于寻找数学中的普遍规律(如其对数学科学的诸多重大贡献:不变量理论、几何基础、数论报告、积分方程、数学基础等),坚信数学科学的有机统一性。 这种理念必然驱使他寻找掌握无限奥秘的方法;在他看来,这种理念无限是人类可以掌握的,而且已有实例可以佐证(如无穷数列的极限问题)。由于他未能掌握黑格尔的辩证法思想,所以这又必然的让他回归到有限主义(潜无限)的思路上来。

 

二、  要理解希尔伯特矛盾的无限思想其实也很简单,那就是坚持黑格尔的辩证无限思想。

 

我们知道,黑格尔先生最伟大的贡献是提出了辩证法思想,尤其在数学上提出了“辩证无限”(真无限、恶无限)思想。基于这一思想,黑格尔对“极限”概念进行了正确的哲学阐述,从质量互变规律揭示了数学中的恶无限、真无限思想,有力批判了数学中的形而上学思潮,让我们彻底认清了“极限”的本质,为第二次数学危机的彻底解决提供了可靠的哲学依据。伟大的革命导师、哲学家恩格斯先生发扬光大了这种辩证无限思想。【什么是辩证无限,详述请参阅文章《论哲学无限与数学无限的异同点》(发表在吉林省教育学院学报2018年第2、3期上)、Philosophical Infinity and Mathematical Infinity------ On the fundamental error of Actual infinity》(发表在著名的数学哲学家Paul Ernest所负责的英国Philosophy of Mathematics Education Journal No.35杂志上。)】

1.  什么是辩证无限观

简单介绍如下:黑格尔认为“无限物(无限性)”具有双重含义,“无限物”是“恶无限”与“真无限”的统一;既肯定了“恶无限”是无限的一种基本形式,“真无限”是无限的本质和更高形式,又批评了只讲“恶无限”而不重视“真无限”的片面性。 因此无限是“恶无限”与“真无限”的统一,是一个自在自为的存在;“真无限”离不开“恶无限”,自为存在离不开自在存在。人类对无限的认识,由可能到现实、由抽象到具体,完成从“恶无限”到“真无限”的转变。从认识程序来看,可以说“恶无限”是人们从事物外部、从现象上认识无限性的结果;而“真无限”则是深入事物内部、事物内部的普遍联系性、从本质上认识无限性的产物。从“恶无限”过渡到“真无限”,标志着人类认识的深化,反映了人类对无限性的认识由可能到现实、由抽象到具体的辩证发展过程,也反映了人类在认识无限性问题上的主观能动性。

真无限是现实的、具体的、肯定的、积极的、理性的、完成的无限,是自为的存在和理性的存在,是完成了的质;而恶无限是可能的、抽象的、否定的、消极的、形而上学的不可完成的无限,是自在的存在和知性的存在。 真无限与恶无限的区别反映了辩证法的理解与形而上学的理解之间的对立。黑格尔在《小逻辑》中总结到:“反之,辩证法却是一种内在的超越(immanente Hinausgehen),由于这种内在的超越过程,知性概念的片面性和局限性的本来面目,即知性概念的自身否定性就表述出来了。凡有限之物莫不扬弃其自身。因此,辩证法构成科学进展的推动的灵魂。只有通过辩证法原则,科学内容才达到内在联系和必然性,并且只有在辩证法里,一般才包含有真实的超出有限,而不只是外在的超出有限。”【3】,p.176)   因此,从恶无限到真无限是一个内在的超越、一个辩证过程。 真无限、恶无限都是无限性的基本形式,黑格尔提出真无限包含并扬弃恶无限的这一深刻辩证结论,力求具体地、现实地把握无限性,反对对它作抽象的推论。从恶无限到真无限,就是从知性到理性的转变,是人类对无限认识的巨大飞跃,也是黑格尔哲学的最高任务

辩证无限观认为无限是质与量的统一,恶无限代表无限的量(运动),真无限代表无限的质(规律、共性或联系)。辩证无限观认为实无限思想将有限、无限割裂开,用静止而不是运动的观点看待事物,具有内在的不可调和的矛盾,因此是一种形而上学、唯心主义的无限观。实无限的本质正是象“先验主义”一样的东西,它本质上是认为世界的发展、运动一定会有个“尽头”。 而黑格尔的无限观正是既看到了“客观物质世界的普遍联系性(真无限)”,又看到了“无限过程不可完成(恶无限)”的客观实在性,所以它是一个科学的无限观,也是一个辩证的无限观。

2.希尔伯特的无限思想简述

在《论无限》一文中,希尔伯特写道:“最后,我们要再回到我们的主题上来,对我们关于无限的全部思考作出一些结论。我们的主要结果是:无限在现实中的任何地方都找不到。它既不存在于自然界中,也不为理性思维----存在与思维之间一种引人瞩目的和谐----提供合法的基础。与弗雷格和戴德金以往的努力相反,我们认为要获得科学的知识,某些直觉的概念和洞察力是必要条件,单凭逻辑是不够的。以无限进行的运算只有通过有限性才能成为确定的。”([1],p.231)“留给无限去起的作用只是一个观念的作用----如果我们依照康德的术语,把观念理解为一种理性概念,它超乎一切经验之外,而使具体事物得以完成为一个总体----而且是一个在由我们的理论所建立的框架内我们可以毫不迟疑地予以信任的观念的作用。”([1],p.231)  上述论述,充分说明了希尔伯特的无限思想:无限不是一个客观存在,无限作为理性概念存在于经验之外,我们只能通过有限来掌握无限。

     3.关于实无限存在的合理性,辩证无限观与希尔伯特思想是一致的

在辩证无限观看来,无限是一个客观存在,如时间、空间是天然的客观无限,物质的不灭性也是一种客观无限,这就确认了无限集合存在的合理性。在这一点上,辩证无限观与希尔伯特思想是一致的,都确认了实无限存在的合理性;尽管前者认为无限是一种客观存在,后者认为无限是一种理念存在。但是,他们思想的主要区别在于对“无限进程能否完成”的看法上,辩证无限观认为无限进程作为主体认识客体的过程、作为有限无限矛盾,不可能完成、不可能终结,而希尔伯特则认为无限进程可以完成、结束,抛弃了有限无限矛盾,以主观代替客观,把思维的产物强加于客观物质世界身上,从而是一种唯心主义的认识论。无限的存在性与过程的不可完成性是完全不同的两个概念,它们是矛盾的两个方面,不可相互替代;正因为它们的存在,才有有限无限矛盾的存在。所以,辩证无限观并不反对康托尔的无限集合理论。

4.如何科学地把握一个无限,辩证无限观与希尔伯特无限思想在大方向上仍然是一致的

在辩证无限观者看来,恶无限是抽象的,无法结束、无法把握,是无限的外在表现,体现了无限的运动,但是真无限是具体、现实的,是一个有限,可以认识、把握,它是无限的内在质的体现。希尔伯特认为我们无法在现实世界中找到无限,这里的无限就是指恶无限,因为物质世界是无限的,而人类思维是有限的,所以任何恶无限都是我们人类智力无法把握的----即不可经验的,这深刻体现了主客体之间的矛盾(即有限无限矛盾)。但是,我们人类又是能认识无限世界,这种认识就是指我们人类能够通过“有限性的方法”把握无限的内在规律,将抽象的恶无限具体化、现实化,从而揭示、把握恶无限内在的质(即真无限,一个有限,一个规律)。如数学分析中求一个数列的极限,即是通过“有限性的方法”来掌握无限数列的本质----极限(极限是一个真无限)。

 

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因此,辩证无限观的真无限思想与希尔伯特的通过有限性掌握无限的思想是完全一致的,只是希尔伯特没有能从哲学的高度看清问题的本质、来有效区分恶无限和真无限。其实,人类文明以来的关于科学认识的历史,无一不证明了这样的一个铁的事实:人类通过认识真无限来认识无限。我们理论中所使用的“无限”都是有规律的无限,我们人类只能在真无限的意义上来掌握无限。 

 

三、  总  结

 

以希尔伯特(Hilbert)为代表的形式主义派在“无限问题”上本身就是矛盾的,一方面他们承认无限集理论,因而承认“无限”的实在性,是典型的实无限论者,但是在另一方面,在具体的应用中又坚持“有限主义原则”,对实无限性的概念和方法的使用顾虑重重,几乎和直觉主义者一样认为可信性只能存在于有限之中,认为无限性对象是超越直觉而不可信的,因此又是一个潜无限论者。因此朱梧槚先生生动地把希尔伯特称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”(【4】,p.146)。这充分说明了希尔伯特在无限问题上的矛盾性,根本原因就在于其没有认识到无限问题的辩证性,没有看到无限是真无限与恶无限的统一体,也没有看到无限的“存在性”和“过程的完成性”是完全不同的两个概念。因此,在“无限性对象”存在性问题上,形式主义学派与逻辑主义学派是一致的,并与直觉主义学派相对立;在具体的数学推理方法中希尔伯特坚持有限性原则,这又与直觉主义学派站到了同一阵线上。因此可以讲,希尔伯特是一个不那么坚定的实无限论者、一个矛盾的实无限论者,他的无限思想更接近辩证无限观。

 

 

参考文献

【1】     保罗·贝纳塞拉夫(Paul Benacerraf),希拉里·普特南(Hilary Putnam) 编,2010年,《数学哲学》,朱水林、应制夷、凌康源、张玉纲 译,商务印书馆。

【2】     康斯坦丝·瑞德(Constance Reid),2018年,《希尔伯特:数学界的亚历山大》,袁向东、李文林 译,上海科学技术出版社。

【3】     黑格尔,1980年,《小逻辑》,贺麟 译,商务印书馆。

【4】     朱梧槚,2008年,《数学与无穷观的逻辑基础》,大连理工大学出版社。

 

 

How We Understand Hilbert's Thought of Infinity

 

Zhang Hong       Zhou HongQiang

 

[Abstract] We know that Hilbert's thought of infinity has profoundly influenced and changed the mathematical development of the 20th century, and yet there is inherent contradiction in his thought of infinity itself, building his understanding of infinity on Kant's intuition and the principle of finalism.  This paper analyzes his thought of infinity based on Hegel's view of dialectical infinite, and points out the incompleteness of his understanding of infinity.

[Keywords] Hilbert, the view of dialectical infinite


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