刍议广义机械科学基础逻辑架构重建之11：理想机构及其正向生成法
题记：理想很骨感，现实颇丰满。
写在前面：半年多来，完成了十余篇博文。回头看，作为研究笔记，还是保留研究笔记的特色的，比如主题比较明确，篇幅比较适中，保留手绘图表图纸的原始方式等（当然，现在绝大多数的研究人员是应用电脑做笔记的）。但是，也有一些问题。说好的写科研笔记，怎么写着写着就像论文了。结论多，过程少。科研中的弯路，曲折，纠结，烦恼，与回首时的柳暗花明，喜悦，吃惊，都很少提到。而这些应当是科研笔记重要的组成部分。以后，再写，还要保留科研笔记的特色。可以适当的谈谈体会，写一下曲折的过程，语言上也可以自由一些，轻松一些。
这一篇博文，费时比较长，改动多。一方面，有其它工作的影响，另一方面，内容删改比较多，结构调整比较大，反反复复，近两个月。
在第8篇博文中，给出了一个根树图，根树图中有理想构件、理想部件的概念，但是，没有详细的论述。本文接着理想部件的话题进行深入细致的讨论，并引出正向综合法和横向综合法。
本文梳理了广义机械科学纵向的逻辑关系，在此基础上，对各个层次的横向关系进行了分析归纳和筛选。在每一个层次的部件群中，筛选出一组或几组具有代表性的部件集合，作为该层次的理想部件。理想部件是一组具有代表性部件。一个层次的理想部件，可以作为下一个层次部件的基本结构单元，有时还可以作为基本的功能单元。特别是有了多个理想运动副全集，依据理想运动副全集，可以组合生成所有64 种运动模式的机构运动链。这是一种新的方法。
本文依据全部自由度组合（孔宪文称为运动模式），给出了机构的全部64 种运动模式及其拓扑结构表达，给出了由理想实体运动副构成的所有64 种理想串联结构运动链和64种理想并联结构的工程实现方案。每一种运动模式至少给出一组实现方案，一些给出多组或许多组实施方案。据笔者了解，这是第一个在一页纸上全面构建64 种运动模式的综合方法。而且做成的结果包括理想机构和非理想机构，对称并联机构和非对称并联机构等。在所检索到的文献，即使是在一部专著中，也没有看到综合得到所有64 种机构的情况，特别是得到全部对称机构的情况。有的专著整部书就讲机构综合，例如杨廷力，孔宪文，高峰，刘辛军，Grigore Gogu等的专著。这些专著涉及大部分运动模式的机构运动链，但是都没有明确指出包括64种运动模式。有的专著，列出专门章节论述机构综合。例如黄真，J.-P Merlet，于靖军等的专著。这些章节也仅涉及部分运动模式的机构综合。
本文给出的方法不仅全面，系统，而且简单直观，目的心强，可操作性强。高中生即可完成构建过程。这是一个新的正向综合方法。为方便区分，我们把已有的正向综合法称为个性化正向综合法。这个新方法称之为系统正向综合法。系统正向综合法包括，理想串联机构的正向综合法，非理想串联机构的正向综合法和理想并联机构的正向综合法，非理想并联机构的正向综合法灯四个方法。
进一步地指出，横向的同一个层次的理想部件，按照同层次部件替换假设（公理），都有一个或几个非理想部件代换。由此产生了一种由理想并联结构为基础、为生成元、为种子，通过支链的等价替换（具有相同的自由度组合。即相同的运动模式），生成非理想串联机构或非理想并联机构的方法，称为横向综合法。
1，研究对象、方法和目的
1.1 研究对象：
广义机械学科涉及的技术人工物，主要包括构型人工物和连接类人工物。按照层次划分，每一个层次都含有众多的元素。例如，实体运动副层次包括多种类型的实体运动副。每一种类型又有多个子类型。例如，液压阀作为实体运动副的一个分支，由很多不同的液压阀。
本文研究这些元素及其这些元素之间的关系，主要是生成关系。在机构的诸多层次中，本文重点研究实体移动副层次和串联机构层次和并联机构层次，不研究梳联机构，不研究啮合机构。不涉及变胞机构。
1.2、研究方法
主要包括理想化方法，归纳方法，筛选法，层次分析方法，系统化方法。
1.2.1理想化方法
理想化方法是科学抽象逻辑思维的一种重要形式，它抓住主要因素，排除非本质的次要因素的干扰，使研究对象和研究条件达到超越于现实的理想境界。理想化方法在科研中的运用，主要是建立理想模型和设计理想实验。物理学的力、热、电、磁、光等领域都建立了大量的理想化模型，属于对象模型的有质点、刚体、理想流体、理想气体、点电荷、电流元、谐振子、单摆、光线等；属于过程模型的有匀速直线运动、匀速圆周运动、弹性碰撞、绝热过程、简谐振动等；属于条件模型的有光滑平面、轻杆、匀强磁场、平衡态等。可以说，物理学或工程学的诸多研究，多数从建立理想模型开始的。
理想化实验又叫做"思想实验"或"假想实验"，是人们在思维中运用理想模型、塑造理想化过程进行逻辑推理的思维活动过程。它以真实实验为基础，以逻辑法则为依据、用思维来展开实验过程。伽利略利用"小球在无摩擦的斜面上运动"的理想化实验，阐述了他关于惯性运动的思想，进而确定了惯性定律。理想化方法的运用使复杂的研究对象变得简单，有利于发现研究对象的本质及其规律。理想模型在科学研究中的意义在于可以使事物的规律具有比较简单的形式，从而便于人们去认识和掌握它们。
本文应用理想化方法，在各个层次中建立一种或几种理想部件集合。
1.2.2归纳法
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法（又称“完全归纳推理”，或叫做枚举法）是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法。它是以某类中每一对象（或子类）都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。
不完全归纳法是根据一类事物中的部分对象具有(或不具有)某种属性,从而得出该类事物所有对象都具有(或不具有)某种属性的思维方法。不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法。
完全归纳法得出的结论是可靠的。不完全归纳法仅基于部分对象进行推理，可能因未考虑到所有情况而导致结论不准确；而完全归纳法则通过考察所有对象来避免这一问题。
在科学研究中，通常会结合不完全归纳法和演绎法等多种推理方法，通过反复观察、实验和验证来不断修正和完善自己的理论假设。这种综合性的推理方式有助于提高结论的可靠性和准确性。
本文应用归纳方法，在各个层次中，归纳得到一个或几几种具有某种特性的部件集合。这些集合用作理想对象的备选对象。 。
1.2.3 筛选法
筛选法（又称筛法）是数学中应用于筛选质数一种方法，后来应用于多个领域。筛选法是一种在特定领域内，通过设定一系列标准或条件，对一组对象进行逐一考察，从而筛选出符合特定要求或标准的对象的方法。该方法广泛应用于各个领域。本文中应用筛选法，其目的是，在各个层次中，按照某种特定的标准。选择确定一组对象部件或元素，作为该层次的一个代表，一个理想。具体步骤是，设定标准，筛选并评估，确定理想对象子集。这是一个迭代过程。
筛选法具有查找效率比较高，灵活性较强，准确率比较高等特点。本文应用筛选法方法，在各个层次中，各筛选出具代表性一个或几个部件集合。
以上方法不是孤立使用的，是相辅相成的。本文还应用了层次分析法和系统方法。这些方法前面的博文已有介绍，故略。
1.3 研究目的
在层次划分的基础上，对各个层次的部件进行归纳研究找出最基本的，有代表性的和符合人们某种特殊需求的特性的一个子集，作为理想部件。理想部件不是唯一的。标准不同，理想子集也不同。
给出了所有64 种非理想串联机构和非理想并联机构的工程实现方案。每一种运动模式至少给出一组实现方案，部分给出多组或许多组实施方案。给出一种系统化的机构正向生成法。
给出横向的同一个层次的理想部件用同层次部件替换的方法假设（公理）。由此产生一种由理想并联机构为基础、基元，通过支链的等价替换，生成非理想串联机构或并联机构的方法，称为横向综合法。
2、根树图及其机构拓扑结构表达
2.1关于机械科学的根树图及说明
在前面的博文（之八）中，我们提出来根树的概念，用于表达机械部件的层级和生成关系。树干由下往上，依次是材料层次，构件层次，组件层次实体运动副层次，元机构层次，基本机构群层次，等。在同一个层次中，包含众多的部件或元素。通常，这些部件或元素彼此之间的地位是平等的。结构及其材料或有不同，其功能在某一个层面上是相同或相似的。例如，通常这些元素是不分主次的，是不分高低贵贱的。有时也有分类，多数按照用途或应用领域分类，这种分类看不出各个元素的高低贵贱。在前面的博文中，有关于理想部件的概念。理想部件的概念的提出，打破了部件平等的观念。
图1 机械科学主题结构根树图
本文意在对各个元素部件，作一个身价评估，按照重要性，按照代表性，按照典型性，或者按照某种特定的标准，在全部元素或某个领域的元素中，选出一部分作为理想部件子集。这个子集，打个不太恰当的比喻，就是一个贵族阶层。不同层级的贵族阶层，形成主流社会。其基本的要求是：1子集具有代表性，能够代表全体元素，每一类元素在理想子集中都有一个代表。2非理想元素，可以通过同级的理想元素，进行某种代换得到。3相邻层级的理想子集，具有某种生成关系。一般的，前一级的理想子集是相邻下一级理想子集的基本结构单元。
所以，同一个层次的元素是可以分出主次的，理想部件就是一个例子。
每一个层次中的元素，以某一个标准衡量，可以分出高低贵贱。当我们说，每一个层次的元素，都有主次之分，意味着，构件层次、组件层次、实体运动副层次、机构层次、机构群层次等层次的元素，都有主次之分。
以机构层次为例。有众多众多的机构，那么在这些机构当中，有没有最简单的最基本的东西。还有运动副，运动副中有没有最简单，最基本的东西存在。就像向量当中的基，不同维度的向量都有不同的基，基是最基本的元素。每个学科，都有一些最基本的元素。那么机构当中最基本的元素是什么，每一个层次的元素中，最基本的元素是什么。这就本文要回答的问题之一。
同一个层次的部件又可以分为不同的子层次。我们会追根溯源，逐层分析。
机构，最基本的元素是理想机构。理想机构是最简单的最基本的。与他对应的之前的就是拓扑结构，拓扑结构的符号表达。距离拓扑结构最近的就是理想机构，还有运动副，运动副最基本的是什么？理想运动副。理想运动副最基本的就是运动副的拓扑结构表达，就是一个符号。有了这个思路，就把这个整个的机构学最最基本的框架作出来了。
构件有理想构件，定常结构有理想定常结构，运动副有理想运动副。机构有理想机构，机构群有理论模型。机构是机构群的特例，包括混连机构是机构群的特例，并联机构也是机构群和混连机构的特例，串联机构也是机构群，混连机构和并联机构的特例。运动副是机构的特例。结构是机构的特例。构件是结构的特例和简化。于是，形成了一个以理想部件为主干的主骨架。主骨架的外层外侧是非理想部件，可以称为“树皮”。该树皮是比较丰厚的。
3、构件与组件及其理想构件和理想组件
3.1 构件的定义
在前面的博文中，已经给出了广义构件的定义。在不同的领域，构件会有具体的定义。这儿，我们给出一个新的表达。构件是一个具有满足人们需求的独特功能并具有可组合特性的实体或实体组合。如键、齿轮、螺栓，梁、柱、拉杆等。
在机械工程领域，构件是一个具有抗力特性的（运动）单元体。可能是一个零件，也可能是由若干个零件组合的整体。这些构件在机构中执行特定的运动或功能。
在液压气动系统，流体作为一种构件，可承受压力。例如，液压缸中的液体。
在建筑工程领域，构件是具有某种物理特性的部件或零件。
在软件工程领域，构件是指可重应用的软件组成成分。软件中的构件，不是本文研究的对象。
3.2构件的本质属性，
构件的本质属性可以归结为功能独特性和可组合性两点。这是构件的核心特性。
3.2.1. 功能独特性
定义：构件应具有独特且明确的功能或用途，能够在系统中发挥特定的作用，构成系统的整体功能，能够满足人的某种需求，这是其存在的核心价值之一。
3.2.2 构件的可组合性是指构件能够被组合成更复杂的结构或系统，以实现更复杂的功能或行为。这种组合可以是物理上的，也可以是逻辑上的，或者是通过接口进行的连接。
这两个属性共同构成了构件作为系统模块的基础，使得构件可以在不同的环境和应用中发挥作用，并实现复杂的系统功能。
3.3 构件的分类
构件的分类方式多种多样，以下是一些主要的分类方法：
3.3.1、按功能和特性分类
传动构件：用于传递和转换力、运动和能量的构件，如轴、齿轮、皮带、链条等。
支承构件：用于支持和定位其他构件的构件，如支撑杆、滑动轴承、等。
固定连接构件：用于连接和固定其他构件的构件，如螺栓、螺母、销钉，联接件等。
密封构件：用于防止流体、粉尘等物质泄漏的构件，如密封圈、垫片等。
导向构件：用于控制和限制运动方向的构件，如导轨、导向销等。
调整构件：用于调整装置尺寸和位置的构件，如厚垫片、螺钉等。
安全构件：用于保护装置和操作人员的构件，如防护罩、保险开关等。
显示构件，如各种铭牌。
3.3.2、按材料分类
金属构件：如铸造件、锻造件、金属零件、焊接件等。
非金属构件：如橡胶件、塑料件、陶瓷件等。
复合材料构件：如复合材料齿轮、复合材料结构件，玻璃钢构件，碳纤维构件等。
3.3.3、按形状分类
轴状构件：如轴、销、螺栓等。
板状构件：如底板、安装板、压力板等。
环状构件：如轴套、弹簧，钢管等。
齿轮状构件：如齿轮、链轮，磁带，齿带等。
盘状构件：如飞轮、齿盘，涡轮盘等。
杆状构件：如连杆、拉杆等。
等等
3.3.4、按运动特性分类
主动件：运动规律已知的活动构件。在机构中，主动件是接受外部给定运动规律的活动构件，如由电机带动的旋转件。
从动件：随主动件运动的其余活动构件。从动件的特点是随主动件运动，可以活动，其运动规律决定于主动件的运动规律和机构的结构及构件的尺寸。
机架：本身固定或可以视为固定的构件，即相对固定的位置不发生变化的构件。机架在机构中起支撑其他活动构件的作用。
3.3.5、按使用环境分类
常温构件：在常规温度下使用的构件。
高温构件：在高温环境下使用的构件，需要具有耐高温性能。
低温构件：在低温环境下使用的构件，需要具有耐低温性能。
腐蚀性环境构件：在有腐蚀性介质环境下使用的构件，需要具有耐腐蚀性能。
防爆环境构件：在易燃、易爆环境下使用的构件，需要具有防爆性能。
。
3.3.6按照是否可以直接应用或应用目的分类：
独立应用型构件和组合应用型构件或构型构件、连接构件、显示构件或检测构件，美学构件等。
所以，构件的分类方式多种多样，可以根据不同的需求和标准进行分类。这些分类方法有助于更好地理解和设计机械系统，提高机械系统的性能和可靠性
3.4构件的特性
构件主要具有两个方向性的用途。一个是作为系统的一个元素，用于组成大系统，这个用途，更多地体现了构件的可组合性和在系统构建中的基础性作用。另一个用途是构件作为独立实体，直接满足特定的功能需求。在这个方向上，构件需要独立地完成某项或某些任务，满足用户的具体需求。这个用途体现了构件的功能独特性和其在特定应用场景中的价值。两个方向性的用途，一个是作为系统构建的基础元素，另一个是作为满足特定功能需求的独立实体，共同构成了构件在系统设计和应用中的主要角色。
所以，构件的核心特性有两种：
一个是功能独特性：构件具有某种独特的功能，这是其与其他构件相区分的关键特性，确保了构件在系统中的不可替代性。
另一个可组合性或可连接性：构件能够与其他构件组合或连接构成更复杂的系统，实现更复杂的功能，使得构件在系统设计和开发中具有高度的灵活性。
3.4.1理想构件的定义与特性
定义：理想构件是被设定为具有某种特殊性能的构件。例如，具有完美的材料性质、具有规则的几何形状、具有理想的边界条件和单一的受力状态等等，等等
理想构件是一个在理论或理想化条件下定义的构件。首先，它仍然是一个构件，其次，该构件还符合一些特殊的条件。其特性和行为被简化，以便于分析和设计。它简化了实际构件中可能存在的各种复杂因素，保留或抓住主要因素，忽略一些次要因素。
3.4.2理想构件的理想化，
理想或表现在以下一个或几个方面：
（1）. 受力状态理想化
单一受力的构件，通常只承受单一类型的力，即承受拉力，压力或剪力中的一种，这样的构件可以称为理想构件。
应力均匀分布的构件，可以称为理想构件。这样的构件在受力时，构件的截面应力分布均匀，无应力集中现象，是一种理想的受力状态。
（2） 具有某种理想化的材料性质的构件可以称为理想构件。
例如，匀质、各向同性的材料做成的构件。完全弹性的材料符合虎克定律，即应力与应变成正比，且在卸载后能完全恢复原状，无塑性变形。这样的材料做成的构件可以称为理想构件。
（3）具有理想化的几何形状或某种规则形状，具有某种特殊的力学等特性。这样形状的构件可以称为理想构件。如等截面直杆，圆管，矩形管，槽钢等等。
（4）无缺陷：构件表面和内部无裂纹、无夹杂等缺陷的构件。
（5）边界条件或应用环境的理想化
理想约束：构件的约束条件被简化为理想状态，如铰支约束。低速运动的构件不考虑周围空气的影响，是应用环境的理想化。
无初应力：构件在受力前无初始应力或应变，以避免对后续分析产生影响，也是一种理想化的状态。
以上例子或多种情况同时存在，可以构成更为严格的理想构件。
组件和理想组件（组件也称为定常结构），其理想部件与非理想部件与构件的情况类似，组件即复杂构件，就是由两个或多个构件经过固定连接的形成的整体。各个部件之间没有相对运动。例如订书钉，排钉，线束，总线铁路轨道，钢丝绳，构筑物，桁架，等等都是组件。构件和组件，本质上属于一个大层次。适用于构件的特性，同样适用于组件。本文对组件不再做深入的单独讨论。
4、理想实体运动副与非理想实体运动副
4.1 关于自由度及实体移动副的符号表达
4.1.1关于自由度
众所周知，一个三维空间的个体，有六个自由度，三个转动自由度和三个平移自由度。在谈到某物体的自由度式，必须明确以下几点：
（1）、必须明确参照系。知道是相对于谁的自由度。对应运动副，自由度是相对于实体运动副定子的自由度；对应机构，自由度是相对于机构机架的自由度。当我们说机构的自由度时，隐含的意思是输出端相对于机架的自由度。例如，说并联机构的自由度时，是指输出端相对于基础平台的自由度。
（2）、明确是谁的运动，一般说来是指输出端构件的运动。实体运动副是指运动子的自由度，实体运动副，是运动子相对于定子的运动自由度。串联机构，是指执行器相对于机架的运动自由度，并联机构的自由度，是运动平台相对于基础平台的自由度。
（3）、指明哪种几何体的自由度，同一个运动体，不同的几何运动对象可能有不同的自由度。例如，平面上的一个点，具有三个平移自由度，没有转动自由度。一个几何线段，有5个自由度，缺少绕自身轴线转动的自由度。一个平面或三维刚体，则有六个自由度。
（4）、自由度是一个确定的数值。是一个整数。不能模棱两可，不能是两个或多个数值。局部自由度不是输出端的自由度，故不计入总自由度数。瞬时自由度是应当避免出现的自由度，一般不计入自由度数。变胞机构的自由度，不在我们的考虑范围。
例如，一个五杆机构，作为一个闭合机构，有两个构件可以作为输出端。输出端构件有三种几何元素，可以作为输出元素，一个是点一个是线段，一个是平面。如果点作为输出元素，例如O点，具有两个平移自由度。
如果以2号杆作为输出端，则有1T1R两个混合自由度。如果以垂直于2号杆且平行于转动副轴线的直线段作为输出端，则有2T0R两个平移自由度。例如，图21.b混联支链中的并联机构部分，就是两个平移自由度。
再如：一个形如[2-UU]平行四边形实体移动副，其运动平台的自由度，也分为两种情况。与转动副轴线垂直且平行于运动平台（连杆）的直杆,有两个平移自由度。与转动副轴线平行且与运动平台连杆相交的直杆,有一个平移自由度和一个转动自由度。而[3-UU]对两种几何元素的情况下，都只有两个平移自由度。
所以，虽然一些机构具有两种运动模式，但是，对于一个具体的研究对象，其运动模式是唯一的。
图 2 a、b、 5杆机构图
例如图23b中的并联机构的支链，应用了混联机构支链，该混联机构支链的并联机构是二支链平面并联机构，其输出就是点输出或线段输出。
4.1.2 关于实体运动副的符号表达
实体运动副仍然应用原来的虚运动副的符号。包括图形符号和字母符号都与原体系的相同。例如实体转动副R，实体虎克铰U和实体球副S。在原来的概念体系下，RPUS等是不包括输入输出构件的连接符号。在新的概念体系下，R、P、U、S等是包括输入输出的的实体部件。就像运动副的国家标准中的图像符号那样，每个符号都有两个小线段，这两个线段就是输入输出端构件。这些图形符号，就是实体运动副的真实表达。或许我们可以说，在当年制定国家标准时，专家已经预示了未来实体运动副概念的产生，为实体运动副的产生提前几十年准备了一个完美的符号。或者说，当时的专家，已经以一种符号表达的方式定义了实体运动副，只是我们没有领会，没有参透。就像传说的那样，当年王勃书写滕王阁序，留存一个空格（即槛外长江 （空） 自流），表示空字一样，不为人们猜到。
4.1.3 新引入的构件字母符号用英文大写字母 I表示。I 是一个象形符号，表示一个杆，表示一个构件，或表示一个0自由度实体运动副。这是一个相当于数字中的0 的字母符号。国标中有连接的符号，一直没有构件的符号，也没有0自由度实体运动副的概念和符号。构件，作为一个机构的基本结构单元，没有明确的符号表达，有些费解。为此也为耦合子引入一个符号，实体运动副的的结构就可以用构件和耦合子表达。用英文字母O表示耦合子，I表示构件，则IOI就是一个实体运动副。注意IOI，不是101（一百零一）。字母I也可以表示0 自由度实体运动副。
构件的图形符号，国标中已经给出。就是一个线段。转动副，移动副，球副，都引出两个线段，这两个线段代表构件。在国标中，构件用线段表达，一目了然。
4.1.4 平行四边形类运动副用H表示
平行四边形类运动副是应用日趋广泛的新型复杂运动副。GOGU在其关于机构组合的5 卷本巨著中，以平行四边形运动副作为基本结构单元构建了众多的并联机构。国内机构学专家高峰在其专著中，应用平四副类运动副构建了多种串联运动链，以此为基础，组合得到很多种并联机构。Delta机器人是平四副的成功应用案例。
平行四边形理想运动副用H表示。H是一个象形符号，中间的横线表示各个侧杆的运动是相关的，或是同步运动（伸缩）的。H1表示单自由度平四副，如[2-RR]和[3-RR]，[2-RRR]。用H2表示二自由度平四副，如[3-UU]，[2-RPR]，[3-RPR].[2-UU]等。用H3表示三自由度平四副，如[3-UPU],P[3-UU]，[2-UPU]，P[2-UU]等。并不是所有的平行四边形移动副都可以作为理想移动副。当两个（有时是三个）驱动侧连杆距离比较大的时候，它不是理想实体运动副。只有当两个驱动侧连杆距离比较小的时候，我们才称其为理想实体运动副。这种结构，主要是侧杆承受拉压力。这样，传统的平行四边形运动副和新的平行四边形理想运动副就有了一个基本的区分原则。
4.2 传统运动副
4.2.2传统理想虚副
19世纪末期，德国工程师和数学家弗朗茨·莱瑟（Franz Reuleaux）在机械学和运动学领域做出了重要贡献，其中最为人所知的便是他对于低副（lower pairs）的详尽分类与描述。在机械设计中，低副是指通过面接触实现运动传递的联接方式，这些接触面间的压强相对较低，因此得名。Reuleaux提出的6种基本的低副类型，排除了虎克铰（Hooke's Joint，也称为万向节），是机械设计中构建复杂运动机构的基础。他把这些当做机械关节中最基本的理想运动副。其中转动副与移动副是平面机构中最常用的两种运动副。
Reuleaux描述的6种低副包括：
转动副（Revolute Pair, R副）：这是最常见的低副类型，允许两个构件绕着一个公共轴线相对旋转。转动副具有一个转动自由度。
移动副（Prismatic Pair, P副）：移动副允许两个构件沿着一个固定方向做相对直线运动。移动副具有一个移动自由度。
螺旋副（Helical Pair, H副）：螺旋副结合了转动和移动两种运动形式，通常通过螺纹配合实现。它允许一个构件在旋转的同时沿着另一个构件的轴线移动。例如，螺丝和螺母的组合就是一个螺旋副。表面上，螺旋副有两个自由度，实质上，只有一个自由度是独立的。
球面副（Spherical Pair, S副）：球面副允许两个构件在一个球面上进行相对运动，即一个构件的凸球面部分与另一个构件的凹球面部分相接触并形成动配合。两个构件可以绕任意通过球中心点的轴线旋转。球面副具有三个转动自由度。
圆柱副（Cylindrical Pair, C副）：圆柱副允许一个构件沿另一个构件的圆柱面进行滑动或滚动。
平面副（Planar Pair, Pl副）：平面副指的是两个构件在一个平面内通过面接触进行相对运动。通常有两个或三个自由度。
Reuleaux的这些分类不仅为机械学提供了严谨的理论基础，还为机械工程师在设计复杂机械系统时提供了实用的连接工具。通过组合这些基本的低副类型，可以构建出满足各种运动需求的机械机构。这6种低副类型，作为机械关节中最基本的理想运动副，对于机械科学的发展产生了深远的影响。
此外，Reuleaux的工作还促进了运动学、机构学以及机器人学等学科的发展，为后来的学者和工程师提供了宝贵的思想财富。
4.2.2 广义虚运动副，随着机构学的发展，出现了一些结构复杂的运动副，我们称之为广义运动副。复杂运动副由传统的运动副的直接接触变为间接接触。复杂移动副是虚副的一次广义化提升。
黄真教授高峰教授于靖军教授等在其专著中定义并应用多种复杂运动副。
复杂运动副或称为复合运动副，是虚运动副结构和功能的扩展，是虚移动副的广义化。是从直接接触向间接接触的转换。间接接触，包括通过构件或运动副的接触。
复杂运动副是两个构件的连接表面通过构件或运动副等构成的间接接触形成的一种连接方式，连接后，构件的两个连接表面之间具有确定的自由度。这种间接接触可以是串联的，也可以是并联的，或者是它们的混合形式。例如，平行四边形类运动副，单自由度的[2-RR](1T0R)，[2-RRR](1T0R)和二自由度的[3-UU](2T0R)，[2-UU](1T1R)，虎克铰U,三轴正交球副，四轴正交球副（对称），还有柱孔副（黄真教授称为孔柱副，为了与球孔副形成构词方式上的统一，本文称为柱孔副），球孔副。
本文对复杂虚副做进一步扩充和广义化。作者发明了二平移和三平移实体运动副。把机构引入实体运动副，一些含有某种机构的整体被命名为复杂实体运动副。把间接接触的滚珠轴承转动副，归入简单运动副和理想实体运动副行列。
4.3 实体运动副和理想实体运动副
前面讨论的Reuleaux所说的理想运动副，是一种连接方式。不是一种实体部件。实体运动副（实副）与虚副是两个不同的概念。自然， 理想实副与理想虚副也有不同 。
按照广义化的指导思想，对虚副这种连接方式做广义化扩展。包括结构扩展和功能扩展。为此定义了耦合子的概念。耦合子是一个实物组合，是虚运动副的实体化和扩展。耦合子由连接子和关联元素组成，耦合子通过连接子再连接构件，就构成实体运动副。一般说，构件是实体运动副的输入输出端。也是构型连接端。
本文所说的实体运动副，是对虚副的实质性改进，是在虚副的基础上改进得到的实体运动副，我们称之为实体运动副或实副。不过，对理想实体运动副，在内涵方面和应用环境方面，还要进一步明确。
理想实体移动副，当且仅当耦合子的受力状态满足一定的条件时，称为理想实体移动副 。例如，1、耦合子不承受弯矩，2、输出连杆不承受扭矩等。
如前所述，理想虚副包括转动副，移动副，圆柱副，螺旋副，球面副和平面副。理想实副的内涵和外延与理想虚副均有不同。理想实副包括理想实体移动副和理想实体转动副两大部分。理想实体转动副包括实体转动副，虎克铰和球铰。理想实体移动副包括棱柱副，二自由度平移复合万向铰，二自由度平移同步移动平四副，和三自由度平移同步移动复合万向铰，
理想实副不包括具有混合自由度的运动副。例如不包括圆柱副，螺旋副，平面副等。这几个实体移动副都很有特色，也很有用。但是，我们不把它们列入理想实体运动副。
4.4转动类实体运动副
转动类实体运动副包括单自由度，二自由度和三自由度实体转动副。每一种实体运动副都有理想和非理想之分。
4.4.1 转动类理想实体运动副及其集合
4.4.2 单自由度实体转动副
4.4.2.1 单自由度理想实体转动副
单自由度理想实体转动副包括，实体转动副R，万向铰U，球铰So。其中，R副是单自由度移动副。单自由度转动副还包括空心转动副。还包括工程上的过约束转动副，例如三个同轴线的铰链支撑的一个平面构件（例如一扇门），不是过约束，而是工程上的理想约束。
U，S+是串联机构型耦合子构成的运动副。U副是2 自由度理想实体转动副，转动副轴线共面正交。S+副是3 自由度理想实体转动副，三个轴线正交。
4.4.2.2 非理想实体转动副
以上理想转动类运动副的特点是，转动中心位于转动副的自身体内。转动中心不能安装其它部件。还有一类非理想实体转动副。转动中心可以安装其它部件的转动类运动副，可以构成一个非理想转动类运动副集合。非理想的转动类运动副集合主要有两大类：一类是串联的，一类是并联的。
单自由度转动副，是环形构件构成的转动副，即转动中心是空心的。可以连续360度转动，也可以小角度摆动。参见图3.并联三自由度复杂运动副参见图16d。
图 3 非理想实体转动副
4.4.3 双自由度实体转动副
4.4.3.1 二自由度理想实体转动副
二自由度转动副，理想的有虎克铰U，和球销副 S’。球销副是简单耦合子，U+是构件型耦合子，是两个转动副的串联，U副是串联结构的耦合子。还有一类广义转动副，是并联构成的。
作为理想转动副，虎克铰的两个轴线是正交的。球销副的轴线是交于一点的。通常，作用在输出端的力是力矩或力偶。虎克铰有两种安装方式，一种是第一个转动副轴线垂直于地面（或安装座），另一种是第一个转动副轴线平行于地面（或安装座）。两种安装方式具有不同的实用工作空间。作为二自由度转动副，一般地，两个转动副不可以同时做连续360度转动。
理想双自由度转动副，还一种是空心轴的，是由两个空心轴和一个空心十字轴构成的。轴线的中心可以安装软轴等。
还有一类是二自由度球面并联机构。这种机构有很多种。它们有更高的承载能力和更高的控制精度。可满足一些特殊的应用场合。
4.4.3.2 二自由度非理想实体转动副
非理想双自由度转动副，是由两个轴线在实体运动副外相交的转动副组成的串联机构。或由一个空心轴和空心十字轴构成的。或两个轴线异面正交的转动副。参见图3b。例如，万向脚轮是一个非理想万向铰，万向轮的两个轴线是异面正交的。
还有一种二自由度球铰，是球面并联机构。有解耦和耦合两种。应用于一些特殊的场合。
4.4.3 三自由度实体转动副（球副）
球副也有多种：球面型球副，用S0表示，三轴线正交型球副，用S+表示，或用RU,或UR表示，转动副R的轴线与U副的一个转动副的轴线垂直。四轴线正交型球副，用RUR或RS+或S+R表示。在RUR中，前后两个转动副的轴线分别垂直于U副的两个转动副的轴线。RUR型球副在结构上是对称的，它有更大的工作空间。
三轴线正交或四轴线正交型球铰是复杂运动副。其耦合子是串联机构。
这几种球铰的转动中心，是实心的，其中心不能安装其它部件。
还有一种更复杂的球铰，是球面并联机构。有很多种。有更高的承载能力和更高的控制精度。球面并联机构可满足一些特殊的应用场合。
4.4.4转动类实体转动副集合
转动类运动副集合包括：实体转动副R，实体虎克铰U或实体球副S，用（R,U,S）表示。
每一种具体的转动类运动副组合，都可以构成一个理想实体转动副子集合。例如（R,U,S+）是一个子集，（R，S’，S0）是另一个子集。这样的集合有多个。
非理想转动类运动副集合，由三种自由度（单，二，三自由度）的实体转动副构成。实体转动副的转动轴线可以是空心的。或转动中心是空心的并联机构。一般的，三个自由度不可以同时做连续360度转动。
非理想实体转动副集合，记[Rf123]，图下标123 表示单自由度，二自由度三自由度实体移动副。
我们用（RⅠ，RⅡ，RⅢ）表示所有的转动类运动副集合。它包括两个子集，理想子集（R1，R2，R3）和非理想子集（Rf，Uf，Sf）。（R，U，S）是一个具体的转动类移动副集合
4.5 平移类实体运动副的构建
移动类实体运动副按照理想与非理想分类：理想实体移动类运动副和非理想实体移动类移动副。按照自由度数目分类，分为单自由度，二自由度和三自由度移动副。按照移动的几何元素的类型分类，实体移动类运动副又分为三大类：点移动实体运动副、线移动实体移动副。面移动实体运动副。
4.5.1单自由度移动实体运动副
4.5.1.1单自由度移动类理想实体运动副P，R。
其中，P是棱柱副，是典型的实体移动副，也是理想实副。P副可提供点、线、面、体的平移运动。
R副是典型的转动副。但是，在某些特殊的情况下，对于某些几何元素具有移动副的功能。对应输出端的点，它是移动副，其工作空间是圆或圆弧。对于平行于转动副轴线的直线，转动副提供一个移动自由度。对于连接于输出端的平面和不平行于转动副轴线的直线，提供一个转动自由度。这是对实体转动副的一个重要认识。对于理解一些复杂的机器人机构，具有指导作用。转动副，作为点移动副，没有问题。一般配合连接球副，或万向铰。作为线移动副是有条件的。线的轴线必须平行于转动副轴线。对于其它方向的轴线，则形成转动自由度。固定连接再输出端的一个平面，则是转动副和移动副的组合。
4.5.1.2单自由度非理想平移运动副
[2-RRR],[3-RRR]，RHP是非理想的实体运动副。其特点是传力路线是折线。
P，R，[2-RR]，[3-RR],[2-RRR],[2-CC]，[2-RRR],[3-RRR]，RHP等，全体单自由度实体移动副称为移动类单自由度运动副集合，记为[T1]
4.5.2. 二自由度实体移动实体运动副
4.5.2.1 理想2-DOF实体移动副
1、RP是转柱副，R副轴线P副轴线垂直。RP是作者命名的一个实体移动副，简记为Pr。它是转动副和棱柱副的组合，参考黄真教授使用的球孔副(SP简记为Q)和孔柱副（UP简记为K）的命名，给RP 一个新名字,转柱副。从中文看，棱柱副（单自由度），转柱副（2自由度），球柱副（3自由度），还是有些美感的。（需要说明的是，作者不知道，是否有学者已经定义并命名了RP组合）。RP组合构成的实体移动副，可以作为点平移自由度，对于平行于转动副直线的线段，RP实体移动副提供移动自由度。所以RP实体移动副作为移动类运动副是有条件的。
2、RR (R//R),是另一种移动类理想实体移动副。RR组合构成的实体移动副，可以作为点平移自由度的实体运动副，对于输出几何元素是平行于转动副轴线的直线，这个转动副组合构成移动副。所以RR实体移动副作为移动类运动副是由条件的。
RP和RR组合是有条件的移动副组合。
3、[2-RPR](2T0R)，是在基本平四副的基础上，经过改造的结构。在两个摆动臂上的R副之间，串联一个棱柱副或圆柱副，两个棱柱副的初始位置，构成一个基本平四副，两个棱柱副同步移动，在任意一个时刻，都是一个基本平四副结构。给出一个具有平面工作空间的二平移运动副。与[2-UU]不同，对于固连运动平台的平面，可提供二自由度运动。
[3-RPR](2T0R)，这也是在[2-RPR](2T0R)平四副的基础上，经过改造的结构，在两个摆动臂，增加一个摆动臂，三个摆动臂不共面，三个棱柱副的初始位置，构成一个平四副，三个棱柱副同步移动，在任意一个时刻，都是一个平四副机构。给出一个具有平面工作空间的二平移运动副。其工作空间是一个扇形平面。
4、[3-UU](2T0R)，这是一个二平移自由度平四副，与[3-RR](1T0R)平四副结构相同，只是把转动副换为万向节。其工作空间是半球面。这是作者在高峰的专著看到的复杂移动副。作者把它作为二平移理想实体移动副。
5、[2-UU](2T0R)，这是一个基本平四副的改型。在基本平四副机构的基础上，只是把转动副换为万向节。万向节的一个轴线与原转动副R 的轴线重合。提供一个平行于U副的固定轴线的线平移自由度。其它轴线，则会产生一个转动自由度。
[3-RR]，[2-RPR]，[3-UU]，对于点、线、面三种几何元素都提供平移自由度。
4.5.2.2 2-DOF移动类非理想实体运动副
双自由度非理想平移实体运动副及其生成方法
全部单自由度运动副构成一个集合，至少有6个元素。
在这个移动类单自由度实体移动副集合中，任取两个实体移动副，串联连接组合包括排列（可以重复选取），连接时移动方向不平行，得到21个二自由度复杂实体移动副。且是非理想的实体移动副。例如，PP，P[2-RR]，RR,PR，RP，RHP，[3-RR]，[2-RRR],P[2-CC]等等，串联连接时移动副的轴线要相互垂直。理想和非理想平移类移动副称为二自由度平移类移动副集合,记为[T2]。
4.5.3. 三自由度实体移动实体运动副
4.5.3.1 三自由度移动类理想实体运动。
UP或SP称为球柱副,本文简记为Pk.UP的P副的轴线与U副的一个轴线垂直，与U副的另一个轴线不平行。可以提供点的平移运动。
[3-UPU](3T0R)，是在[3-UU](2T0R)的基础上，做进一步改动，在两个摆动臂上的U副之间，串联一个棱柱副，三个棱柱副的初始位置，给出一个平四副，三个棱柱副同步移动，在任意一个时刻，都是一个平四副机构。这样构成一个具有三平移自由度的运动副。
[2-UPU](3T0R)，是在[2-RPR](2T0R)的基础上，做进一步改动，把转动副换为万向节。万向节的一个轴线与原转动副R 的轴线重合。增加一个移动自由度，提供线段的平移自由度。提供一个平行于U副的固定轴线的线平移自由度。其它轴线或平面，则会产生一个转动自由度。
4.5.3.2非理想平面实体实体移动类移动副。
生成三自由度实体移动类运动副的方法有两种：一个是全部由单自由度实体运动副串联生成，另一个是由二自由度理想运动副同单自由度运动副组合生成三自由度实体运动副。
方法1：在单自由度实体移动副集合中，任取三个实体移动副（可以重复选取，选取三个相同的或选取两个相同的），串联连接组合包括排列，连接时各个移动副的移动方向不平行，通常三个轴线相互垂直，得到一个三自由度复杂实体移动副。且是非理想的实体移动副。这样可以得到31种三自由度实体运动副。例如，PPP,P[2-RR][2-RRR]等等。不考虑有冗余运动副的情况，不考虑多个转动副叠加转换生成的移动自由度。所以，30种三自由度非理想实体运动副是保守的计算。
方法二：
以移动类双自由度理想移动副为基础，配合固定连接一个单自由度移动副，得到一个三自由度非理想移动副。方法如下：
移动类双自由度理想移动副主要有[2-UU]，[3-UU],[2RPR][3-RPR],RP（转柱副Z）等。轴线移动副可以作为基本结构单元，构建三自由度实体运动副，
在二自由度理想实体移动副集合中，和前面的单自由度实体移动副集合中，各任取一个实体移动副，串联连接组合包括排列（可以重复选取），连接时移动方向不平行，得到一个三自由度复杂实体移动副。且是非理想的实体移动副。例如P[2-UU]，P[2-RPR],[2-RRR]U*,[2-CC][2-RPR].等等。估计在30 种以上。
两种方法产生的三自由度非理想移动副称为三自由度非理想实体移动副集合，记为[T3]。[T3]的数量比较大，至少60 种。而且不包括两个二自由度实体移动副串联构成的或其它方法构建的冗余运动副移动副。
在[T1]，[T2]，[T3]中，各取一个元素，构成一个非理想移动类移动副集合。称为[T123].这个集合，有很多很多种，最少2400种。每一种，配合一组基本转动副集合，包括理想和非理想实体转动副集合，都可以生成64 种运动模式的串联机构或运动链。
我们用（TⅠ，TⅡ，TⅢ）表示实体移动副全集，我们用（T1，T2，T3）表示理想实体移动副全集，用（P1，P2，P3）表示非理想移动副全集。（TⅠ，TⅡ，TⅢ）实体移动副全集，包括（T1，T2，T3）理想实体移动副全集和（P1，P2，P3）非理想移动副全集。
4.7混合运动副及集合
混合实体运动副是指具有两个或多个自由度的运动副，其自由度组合中，既有移动类自由度，又有转动类自由度。例如1T1R，2T2R，2T1R，1T2R,1T3R型等实体运动副是混合实体运动副。圆柱副是一个混合运动副。转柱副和球柱副也是混合运动副。
1T1R型：圆柱副C,这是一个简单实体副。1T1R型：还有复杂实体混合运动副：包括R[2-RR]，R[2-RRR]，R[3-RR]，R[2-CC]，或[2-RR]R，[2-RRR]R，[3-RR]R，[2-CC]R，等等；
1T2R型复杂实体运动副：U[2-RR]，U[2-RRR]，U[3-RR]，U[2-CC]，或[2-RR]U，[2-RRR]U，[3-RR]U，[2-CC]U，等等；
1T3R型复杂实体运动副：S[2-RR]，S[2-RRR]，S[3-RR]，S[2-CC]，或[2-RR]S，[2-RRR]S，[3-RR]S，[2-CC]S，等等；
2T1R型复杂实体运动副：R[2-RPR]，R[3-RPR]，RU*，U*R，或[2-RPR]R等等，
3T1R型复杂实体运动副：R[3-UPU]，RP[3-UU]，R[2-RR]U*,R[2-RR]U*S或[3-UPU]R等等。
此外还有：
2T2R型复杂实体运动副：U[2-RPR]，U[3-RPR]，UU*,U*U，或[2-RPR]U等等，2T3R 复杂实体运动副：S[2-RPR]，S[3-RPR]，SU*,U*S或[2-RPR]S等等，
3T3R型复杂实体运动副：S[3-UPU]，SP[3-UU]，S[2-RR]U*,[2-RR]U*S或[3-UPU]S等等。
一些多自由度复合运动副，已经与机构相差无几。确定机架，秒变机构。
混合运动副的组合在理想实体运动副的组合中已有体现，这儿不做深入论述。
部分混合实体移动副的组合方案可参考表1。
同移动类合转动类的组合一样，混合类实体移动副自身也可以组合得到多种运动模式的运动链。例如，可以应用1T1R，2T1R，3T1R与1T1R，1T2R，1T3R，组合，得到多种运动模式的运动链。组合中有时会出现冗余自由度，出现相互影响的自由度。所以，对组合得到的结构，要作具体分析。这一点，与理想实体移动副的组合是不同的。
表格1 混合类实体移动副的生成方式（拓扑结构）
三大类实体移动副集合可以进行多种组合。以下几种组合方式都可以构成混合类实体运动副，
第一类混合实体运动副集合：理想移动类运动副集合配理想实体运动副集合构成理想混合类实体运动副；
第二类混合实体运动副集合：非理想移动类运动副集合配合理想实体转动类运动副集合：构成非理想混合类实体运动副；
（P1f，P2f，P3f，R，U,S）；
第三类混合实体运动副集合：理想移动类运动副集合配合非理想实体运动副集合构成混合类实体运动副；
第四类混合实体运动副集合：非理想移动类运动副集合配合非理想实体转动类运动副集合：构成理想混合类实体运动副。
第五类混合实体运动副集合：理想运动副集合配混合实体运动副集合构成混合类实体运动副；
第六类混合实体运动副集合：混合类实体运动副集合配合混合类实体运动副集合：构成混合类实体运动副；
上述混合类实体运动副也可以称为运动链。上述方法可以组合得到许许多多种运动链。
4.8 实体运动副全集的应用和机构的拓扑结构表达
4.8.1 三大类实体运动副集合
前面我们定义了三大类实体运动副，包括，平移类实体运动副，转动类实体运动副和混合类实体运动副。每一类运动副都包括很多子集。在移动类实体运动副子集、转动类实体运动副子集和混合运动副子集中，恰当的选取两个子集进行组合，每一种组合都可以形成64种运动模式。所以，理想实体移动类和理想实体转动类的组合，理想实体移动类和非理想类实体转动类的组合，非理想实体移动类和理想实体转动类的组合，都可以产生64种运动模式的运动链。构成的64种运动模式的运动链，有些是理想的，有些是非理想的。这种组合，其最大的特点是各种的自由度互不影响。
混合类运动副，由于圆柱副和螺旋副都存在转动自由度度和移动自由度，就是说，他们既包括转动副也包括移动副，所以混合类运动副自身的组合，完全可以构成64种基本运动模式的运动链。非混合类和混合类运动副之间也可以进行组合，得到64种基本运动模式的运动链。这种组合，有时会产生自由度的相互影响。故应当考虑自由度的变化。
下面我们研究基本的组合方式就是。转动类实体运动副和移动类实体运动副的组合。因为这两种运动副的组合在自由度之间没有任何相互影响，二者是相互独立的，在构成运动连的过程当中比较方便。重点研究理想类转动副与理想类移动副的组合。而其他几种运动副之间的组合，例如，混合类实体运动与混合类运动副自身之间的组合，混合类实体运动与非混合类运动副之间的组合，以后，再进一步分析。
4.8.2、实体运动副全集
理想类，非理想类和混合类三个子集构成理想实体移动副全集。
理想类实体运动副全集
包括运动类和转动类两个大类。
其中，移动类的之类比较多。单自由度理想移动副包括P副和H1副。H1包括[2-RR][3-RR][2-CC]等。二自由度理想移动副包括H2。H2包括[2-RPR][3-RPR][3-UU]等。三自由度理想移动副包括H3。HS包括[3-UPU]，[2-UPU]等。
我们用（TⅠ，TⅡ，TⅢ，RⅠ，RⅡ，RⅢ，） 表示实体运动副全集，我们用（T1，T2，T3，R1，R2，R3，表示理想实体运动副全集，用（P1，P2，P3，Rf，Uf，Sf）表示非理想实体运动副全集。一个具体的实体移动副全集，可以用具体的实体移动副表达。例如，（[2-RR]，[3-UU]，[3-UPU]，R，U，S+）就是一个具体的实体移动副全集。称为元子集，。一个元子集，可以形成：64种运动模式的运动链，64 种串联结构，N*64（N>1）种并联机构。一个坐标点，对应一个运动模式，对应一个串联机构，对应多个并联机构。以运动模式点M（7，7）为例。这是一个六自由度运动模式，可以构成对称并联机构，偏正并联机构等。对称并联结构和偏正并联机构又可以分为几种。
4.9、理想实体运动副全集及其应用
我们把理想平移类运动副作为横坐标，把理想转动类运动副作为纵坐标，坝坐标系变为一个表格（见表？），移动类运动副与转动类运动副组合，得到各种运动模式的运动链。其中，包括0自由度运动链。我们把0自由度运动副作为自由度的一种特殊形式。固定连接作为一种特殊的耦合子，0 自由度耦合子。可以形成，64种运动模式。一个刚体有7个自由度。
关于表格中的自由度组合，孔宪文称为机构的运动模式。但是没有罗列所有的组合。上述组合，可以允许多种排列方式。排列可以让运动模式更具体，更细化。例如一个转动类自由度，其转动轴线可以是固定不变的，也可以是变动的。
理想实体运动副集合：
第一类点移动类理想运动副集合（P，Pz，Pq，R，U,S）；
第二类线段移动类理想运动副集合（P1，P2，P3，R，U,S）；
第三类面移动类理想运动副集合（Pa，Pb，Pc，R，U,S）；
这几个集合，应用了相同的转动类运动副集合。
非理想运动副集合用（T1f，T2f，T3f，Rf，Uf,Sf）表示。 其中，T1f是单自由度非理想实体移动副，T2f是双自由度非理想实体移动副，T3f是三自由度非理想实体移动副。其中T1f有数种结果形式，T2f十余种结构，T3f则有数十种结构形式。
（Rf，Uf,Sf）也有多种结构形式。
所以，（T1f，T2f，T3f，Rf，Uf,Sf））表达的是数百种实体运动副集合。每一组运动副组合都可以构成一套64 种机构运动模式的运动链。、
第一类点移动类非理想运动副集合（Pf，Pzf，Pqf，Rf，Uf,Sf）；
第二类线段移动类非理想运动副集合（P1f，P2f，P3f，Rf，Uf,Sf）；
第三类面移动类非理想运动副集合（Paf，Pbf，Pcf，Rf，Uf,Sf）；
混合类实体运动副集合
4.8.1 机构输出端为点的机构运动模式分区（拓扑结构表达）
点的机构运动模式， 分为四个区：0T0R区,1T0R区,2T0R区和3T0R区。0T0R区和3T0R区各有一个运动模式，即0自由度模式和6自由度运动模式。1T0R区和2T0R区，各有三个运动模式。共有8个运动模式。
4.8.2 机构输出端为线段的机构运动模式分区（拓扑结构表达）
线平台并联机构的自由度组合共有9个区。2 自由度组合共有3个区，10 种运动模式；3自由度组合有三个区，共有10 种运动模式，4自由度组合两个区，5种运动模式，5自由度组合一个区，1种运动模式。
4.8.3机构输出端为平面或三维刚体的机构运动模式分区。参见表3.
表格2 机构输出端为线段的机构之自由度组合（设无Rx自由度）
设不存在Rx转动自由度。
拓扑机构的分区
平移类实体移动副与转动类实体移动副组合，考虑0自由度的情况，组成表格1.表格1 可以形成16 个大区。同一个区具有相同的支链类型，但通常具有不同的安装方式。多数区，即使是同一个区，也有不同的运动模式。共有64种运动模式，即64 种自由度组合。一种运动模式对应一种自由度组合。
0T0R 是一个特殊的运动模式，是两个构建之间的固定连接模式，3T3R是全自由度运动模式。这两种运动模式都各占一个区。也是两个单运动模式的大区。其它大区都有多个运动模式。看到的文献，关于机构综合的文献，多数是按照大区的分类方式进行综合的。例如，高峰，孔宪文等就是就是按照大区近进行综合的。
0T1R区和1T0R区是单自由度运动模式区。依据其轴线，各有三个轴线方向，对应三个运动模式。
2T0R区、1T1R区和0T2R区是二自由度运动模式区。依据其轴线，2T0R区和0T2R区个有三个轴线方向，各对应三个运动模式。1T1R区有9个运动模式。这3 个大区共有15 个运动模式。
3T0R区、2T1R区.1T2R区和0T3R区是3自由度运动模式区。依据其轴线方向，3T0R区和0T3R区各有三个轴线方向，各对应三个运动模式。2T1R区和1T2R区各有9个运动模式。这4个大区共有15 个运动模式。
3T1R区、2T2R区和1T3R区是4自由度运动模式区。依据其轴线方向，3T1R区和1T3R区各有三个轴线方向，各对应三个运动模式。2T2R区有9个运动模式。4自由度运动模式区共有15 个运动模式。
3T2R区和2T3R区是5自由度运动模式区。依据其轴线方向，3T2R区和2T3R区各对应三个运动模式。共有6个运动模式。
各个大区共有64 种运动模式。见表格3.
表格3 机构运动模式的拓扑结构表达（64种运动模式一览）
5、机构的分类
5.1 机构的分类：
5.1.1运动链的定义
运动链定义：二端点部件实体运动副，用以下连接方式之一进行固定连接，构成一个整体，该整体的某些构件之间存在相对运动，则该整体称为运动链。连接方式是：
1、运动副通过固定连接和啮合连接构成的整体，称为啮合机构。
2、通过首尾相连构成的开环整体；称为串联机构或串联运动链。
进一步地，二端点部件，包括实体运动副和串联机构运动链，用以下连接方式之一进行固定连接，构成一个整体，该整体的某些构件之间存在相对运动，则该整体称为运动链。连接方式是：
3、通过首首相连同时尾尾相连构成的整体；称为并联机构或并联运动链。
4、通过首首相连或尾尾相连，另一端开放构成的整体；称为梳联机构或梳理运动链。
所谓二端点部件，是指输入端是一个端点，输出端是一个端点。端点称为构型连接端。例如实体移动副，串联机构，并联机构都是二端点部件。可以看出串联机构或串联运动链可以作为并联机构的基本结构单元和基本功能单元。
上述实体运动副是广义的。包括联轴器，刹车器，离合器，软轴连接等。啮合连接包括刹车连接和联轴器连接。联轴器连接是耦合连接，是一种特殊的实体运动副。微自由度（5个）实体运动副。两个构件之间没有转动自由度。类似的，联轴器对两个构件的运动的限制，有特殊性。
连接主要包括固定连接和活动连接。上述连接指固定连接。活动连接包括切削连接，挂丝连接（纺织线），热耗散连接，载物连接。等等。本文不涉及活动连接。
5.1.2机构的定义，
当运动链的某个特定的构件固定为机架时，则该运动链整体称为机构。某些包含主动副的机构，可以构成机器。
5.1.3 机构的分类
5.3.4 分类的依据和分类
（1）、按照实体移动副之间的连接方式分类：
啮合类机构，以啮合类运动副为基本结构单元，用固定连接和活动连接两种连接方式连接构成的机构，称为啮合机构。例如齿轮机构，凸轮机构等。
串联机构，以连杆类运动副为基本结构单元，用首尾相连仅固定连接为唯一连接方式构成的开环机构，称为串联机构；
并联机构，以连杆类运动副或串联运动链为基本结构单元，首首相连同时尾尾相连，仅固定连接为唯一连接方式构成的闭环机构，称为并联机构；有单环和多环并联机构等多种。
梳联机构，是以实副或实体运动链作为基本结构和功能单元，以首首相连或尾尾相连，另一端开放的，仅固定连接为唯一连接方式构成的开环或闭环整体称为梳联机构。
（2）、按照是否含有反馈环节分为含反馈机构和无反馈机构。分为这样几类：
反馈型机构：反馈型啮合类机构，反馈型串并联类机构，反馈型梳联类机构，
无反馈型机构：无反馈啮合类机构，无反馈串并联类机构，无反馈梳联类机构。
其他机构。
（3）按照多种机构的组合：
各类机构的组合可以形成多种复杂的机构。例如，组合机构是啮合机构与连杆机构的组合；混联机构是串联机构与并联机构或并联机构与并联机构的串联组合；梳联机构与串联机构或并联机构的组合称为杂联机构或复联机构，等等。火车是一个复联机构。
上述机构不包含的机构称为其他机构。
（4）、按照机构产生年代，分为传统机构（经典机构）和现代机构。
5.2 经典机构或称为传统元机构，元机器及其理想
经典机构是一座丰富的知识宝库。包括连杆机构，齿轮机构，凸论机构。槽轮机构，棘轮机构，非完全齿轮机构，摩擦机构，带传动机构，链传动机构，组合机构，其他机构。还有传统元机器，复杂机器，冷机，电机，热机，内燃机外燃机。等等。对经典机构，本文不做进一步探讨。
6、串联机构和理想串联机构全集，及其正向生成法
串联机构可以分为理想串联机构和非理想串联机构。理想串联机构指某种具有特殊性能的串联机构。例如，从执行器到机架，机构的传力路线是直线的串联机构，可以被看作理想传力机构。二节肢、三节肢、多节肢串联机构可以被定义为非理想串联机构。当然，其它具有某种高精度、高稳定性、多自由度、高效率、低能耗以及智能感知与决策能力的串联机构，也可以被定义为理想串联机构。
串联运动链和串联机构的生成方法;
以运动模式的拓扑结构表达式为基本依据，以该表格某一方格对应的移动类实体运动副和转动类实体运动副作为基本结构单元，串联连接两个基本实体运动副，构成一个运动链，由于两个运动副具有不同类型的运动特性，故不会互相影响。得到符合自由度要求的串联运动链。
由理想串联结构走向非理想串联结构，基本途径包括：
（1）、转动类和移动类运动副的拆分，理想的实体运动副变为非理想的运动副，但是要保持自由度组合不变。拆分一个就可以得到一组新机构。
（2）、拆分后的实体运动副进行重新排列。保证自由度组合不变的前提下，得到一个新的排列。
（3）、在支链库中寻找合适的支链，代替理想支链。
串联运动链的主要类型 ，包括理想串联机构集合 A，二运动副理想运动链；理想串联机构集合B，三运动副理想运动链；理想串联机构集合C，混合运动副理想运动链和其他理想串联机构集合D。
非理想串联机构包括二节肢运动链，三节肢运动链和多节肢运动链。其生成方式是通过替代完成转换。
6.3.1拓扑表达的全集
6.3.2 理想实体运动副表达的全集
关于表格4-8的说明
表格4-8用于表达串联运动链的组合生成方法和运动模式。以基本实体运动副，包括转动类实体运动副和移动类实体运动副为基本机构和功能单元，构建基本运动链。
表中第一行是四种基本移动模式，包括0，1，2，3自由度平移模式。
表中第二行是四种实现基本移动模式的实体运动副，包括0，1，2，3自由度平移运动副。
表中第三行是8种基本移动模式的编号，相对于横坐标，用0，1，2，3，4，5，6，7表示。
表中第四行是8种基本移动模式相对应的运动副及其具体的安装方位。
表中第一列是四种基本转动模式，包括0，1，2，3自由度转动模式。
表中第二列是四种实现基本转动模式的实体转动副，包括0，1，2，3自由度转动运动副。
表中第三列是8种基本转动模式的编号，相对于纵坐标，用0，1，2，3，4，5，6，7表示。
表中第四列是8种基本转动模式相对应的运动副及其具体的安装方位。
表格的中间部分色转动类移动副于移动类移动副的组合，固定连接的串联组合。组合的结构是一个个具体的运动链。具体的运动链，用表格方格对应的坐标表示。该表格坐标值对于的每一个方格，不仅指明了具体的运动模式，即自由度组合，而且，指明了所用实体运动副的安装方位。例如，坐标M(4，5)表达的运动链，是有第4个移动类运动副与第5个转动类运动副组合构成的运动链。转动副的轴线垂直于水平面。不同的表格对应不同的实体运动副。
表格5 理想串联机构全集A：是依据理想实体运动副集合（P，RP，UP，R，U，S）构建的64 种运动链。
表格6 理想串联机构全集B：是依据理想实体运动副集合（H1，H2，H3，R，U，S）构建的64 种运动链。
表格5 理想实体运动副集合（P1，P2，P3,R，U。S）构成的64种运动链全集
6.3.4多实体运动副的运动链的构建方法：三维坐标组合构建方法
以理想运动副作为基本结构单元，构建运动链或并联并联机构的支链，在部分学者的作品中。例如杨廷力，主要以基本运动副，即转动副和移动副为基本结构单元，综合得到各种运动链和多种并联机构，而高峰和Gugo，等学者则利用平行四边形等复杂运动副作为基本的结构单元，综合得到多种并联结构。
本文以非混合自由度的基本实体运动副为基本结构单元，构建运动链，得到全部64从运动模式的运动链。以各种理想实体运动副作为基本结构单元，按照转动类理想运动副和移动类理想运动副串联组合得到各种运动链区，其显著的特点是两类实体运动副，他们之间不产生相互影。因此组合方式很简单，而且可以组合得到64种运动模式的运动链。
但是，这种方式组成的运动链，只是两个或三个运动副构成的运动链。不能得到其他的3运动副或4运动副或5实体运动副构成的运动链。针对这个情况，特提出一种新的组合方式，三维组合方式，就是重复应用转动类运动副，重新选取R，U，S进行组合。就是说移动类运动副与两组转动类运动副组合得到一个多运动副的运动链。这个运动链可以综合得到以转动副或者是移动副作为驱动副的六自由度支链和其他少自由度支链。例如RUS或PUS运动链。这种方法构成的运动链，其运动链自由度是变数。需要检测自由度组合。
具体方法是在二维坐标组合的基础上，得到二副或三副运动链。在这个运动链的基础上，再分别与R,U,S组合，得到三运动副或四运动副运动链。
表格6 多实体运动副构成的运动链（实体移动副为R,RP,UP）
这个方法得到的新运动链，都有自己的一个或多个运动模式。例如R副有Rx，Ry，Rz三种运动模式。表7，表8给出了来自平移类移动副与两个转动类移动副组合的结果。
7.理想并联机构集合及其生成方法
7.1并联机构的分类
并联机构具有比较复杂的结构。不同的依据，可以获得不同的分类方式。
7.1.1 依据并联机构的某些物理性能进行分类
（1）、按照并联机构自由度分类，分为0，1，2，3，4，5，6等7个自由度的并联机构。
(2)、按照输出端的运动模式分类，可以分为具有64 种运动模式的并联机构。参见表格5，6.
(3)、按照支链的刚度分类，刚性支链并联结构，柔性支链并联结构和刚性柔性混合支链并联机构。
(4)、按照输出端的几何形状分类，有点、线、面（包括三维刚体）并联机构。
7.1.2按照并联机构的结构特性分类
(5)、按照并联机构的对称性分类;对称并联机构，非对称并联机构。
(6)、按照支链是否相同，分为偏正并联机构和非偏正并联机构
偏正并联机构又分为，冗余支链偏正并联机构，恰支链偏正并联机构和少支链偏正并联机构。冗余支链多数情况下是仅仅有一个冗余支链。
7.1.3 按照并联机构的某些差异性分类
(7)、按照支链的功能异同分类，完全相同支链并联机构（完全对称并联机构），部分支链相同的并联机构。偏正并联机构（某些情况下，可以构成第二类对称并联机构)。
对称并联机构的各个支链都是相同的。偏正并联机构的支链中，有一个支链的自由度数和运动模式与并联机构的自由度和运动模式完全相同。这个支链称为主支链，用于确定并联机构的自由度特性。主支链一般不作为驱动支链。其余支链一般用六自由度支链，用于驱动，称为驱动支链。驱动支链对主支链的自由度没有影响。无驱动主支链一般构成冗余支链并联机构。
(8)、按照支链数与自由度数的关系分类：恰支链并联机构，冗余支链并联机构，少支链并联机构。
(9)按照运动平台的结构分类，点平台，线段平台（图3），三角形平台（图4），多边形排名平台（图5），非平面平台（图6）。
(10)、按照基础平台的结构分类，点型基础平台（图7）。线型基础平台（图8）。三角形基础平台（图），多边形平面基础平台（图）。二平面基础平台（图10），三平面基础平台（图11），多平面基础平台，其它平台。等等
7.1.4按照并联机构的几何特性分类
(11)、按照支链是直线还是折线分类（图12 ）：理想直线支链（图12a），二节肢支链（图12b,c,d）,三节肢支链（图12e）,四节肢支链（图12f）,多节肢支链(tu 12g)等等。
(12)、按照工作空间的几何形状分类：平面并联机构，球面并联机构，空间并联机构 。
7.1.5 几种特殊的并联机构
（1）、冗余支链单自由度并联机构
特别的，本文把单自由度闭环机构归入偏正并联机构，作为冗余支链并联机构。例如，一个四杆闭环机构，就是一个单自由度二支链偏正并联机构，其中一个支链是主支链，用于确定并联机构的自由度模式，另一个支链用于驱动。冗余支链单自由度并联机构在传统连杆机构与现代并联机构之间建立起一个桥梁、下面给出机构单自由度二支链偏正并联机构的几个实例。
[2-RR]，平行四边形实体运动副。[2-RR]可以看作为一个单自由度二支链并联机构，一个具有冗余支链的偏正并联机构，一个RR支链是主支链，用于确定机构的自由度，另一个支链RR用于驱动。
同理，[2-RRR]（sarrus机构 ）也可以看作为一个单自由度二支链并联机构，一个具有冗余支链的偏正并联机构，一个RRR支链是主支链，用于确定机构的自由度，另一个支链RRR用于驱动。或两个支链同步驱动。
[2-CC],双圆柱副机构,是单驱动二支链并联机构。
（2）、带有反馈环节的并联机构，例如某些斯特林发动机机构。
（3）两种类理想并联机构例
0重量（超轻）腿机构，远程驱动的腿机构，驱动动力源布置在机身上，故腿部重力较小，可以视为0重量腿机构的工程近似。
0重力飞行模拟器并联机构运动平台，消除支链重力的并联机构（惯量依然存在），可以视为一种理想的并联机构。
在偏正并联机构中，六自由度支链，包括SPS支链,UPS支链，RUS支链，PUS支链等是一个万能支链，可以配合主支链（确定并联机构自由度的无驱动支链），构成各种自由度组合的偏正并联机构（偏置并联机构）。这个主支链可以驱动或无驱动。其余支链大多数是SPS类六自由度支链，或其它不影响主支链自由度组合和工作空间的支链。冗余支链偏正并联机构、恰驱动偏正并联机构，少支链偏正并联机构，都可以应用这种结构形式。例如，RPS支链与4个SPS支链构成的恰支链主从并联机构，其中RPS支链是主支链，同时也是驱动支链。它确定并联机构的自由度(2T3R)。SPS是驱动支链。RPS与4个SPS支链构成的冗余支链主从并联机构，其中RPS支链是主支链，同时用于驱动，它确定并联机构的自由度(2T3R),SPS是驱动支链。
部分偏正并联机构的主支链是由两个支链共同完成的。例如2-RPS&2-SPS 四自由度并联机构，其中2-RPS支链是主支链，两个支链共同决定并联机构的运动模式（2T2R）并驱动。2-SPS是驱动支链。
图4 线段运动平台 图5 三角形运动平台
图6 多边形运动平台 图7 三维运动平台 图8点基础平台
图9 线段基础平台 图10 平面和台体式基础平台
图11 2 平面基础平台
图12 三平面基础平台
图13，理想节肢，2 节肢和多节肢支链简图
图14 a 4节肢支链， b[3-UPU]理想实体移动副，c空心型球副
图15 a,B三实副闭环运动链，c 三节肢运动链
图16 a，b三支链二自由度偏正并联机构，c 2支链单自由度偏正并联机构，
d 三支链三自由度对称并联机构
图17 a、点平台3自由度对称并联机构，
b、点平台偏正4自由度并联机构，
C、3节肢对称并联机构，d 球面对称并联机构
图18 a 、b、 4 节肢对称并联机构，cd、 3节肢对称并联机构
图19 a、3节肢3自由度对称并联机构，b、3平面基础平台对称并联机构
c、点平台对称并联机构，d、平面平台3支链对称并联机构
图20 a、d、六边形运动平台和六边形基础平台理想支链对称并联机构，
a、6-SPS支链，d、6-UPS支链
b、三角形运动平台和六边形基础平台理想支链对称并联机构，6-3 SPSz支链
c、六边形运动平台和六边形基础平台理想支链对称并联机构。6-SPS支链
图21 a 、3 平面基础平台6 自由度对称并联机构，b、6-PSS对称并联机构，
c、6-PSS 6 自由度对称并联机构（移动副直线相互平行）
图22 a 、6-RSS 6 自由度对称并联机构，b、3混联支链6 自由度理想并联机构，
C.环形实体转动副4自由度并联机构
图23 a、3支链2驱动6自由度理想并联机构，
b、3混联支链2驱动6自由度对称并联机构
图24 a、恰支链偏正对称并联机构，b、冗余支链偏正对称并联机构，
C、冗余支链偏正非对称5自由度并联机构，
图25 几种3 平面基础平台、三维运动平台、3自由度对称并联机构，
图26 a、含平行四边形移动副的并联机构，b、一种平面并联机构
7.2并联机构的生成方法
7.2.1 方法概述
并联机构是以串联运动链作为基本结构单元和功能单元组成的整体。本文给出的并联机构生成方法，是基于本文提出的64 种基本运动模式的运动链构建并联机构的方法。一个运动模式，对应一类并联机构。例如，运动模式M(7,7)对应的是3T3R六自由度并联机构。其并联机构的结构形式，有多种选择：例如对称或非对称，理想或非理想，偏正或非偏正。其运动平台，基础平台和支链也都有多种选择方案。不同的选择方案。可以得到不同的并联机构。所以，该方法是以基本运动模式的拓扑结构表达式为起点，以获得一个具体的符合实际要求的并联机构为终点的迭代过程。中间过程是一个选择和取舍的过程，通常是一个迭代的过程。该方法最大特点是方法本身已经告知支链的安装方式，即方法本身对并联机构的整体结构有一个基本设定。依据这个基本设定，可以基本确定并联机构的结构。
7.2.2并联机构的构建方法，正向构建方法
1、给定设计参数；
2、依据设计参数，确定要构建的并联机构的运动模式。即在理想运动链拓扑结构表达图表中的坐标M（a，b）。其中，a是移动类实体运动副的坐标值，b是转动类实体运动副的坐标值。M（a，b）确定了运动模式和基本结构形式。
3、确定并联机构的结构模式，包括：
确定 是应用理想并联机构还是非理想并联机构；
是哪一种理想或非理想并联机构；
是应用对称并联机构还是非对称并联机构；
是哪一种理想或非理想并联机构
是应用偏正并联机构还是非偏正并联机构；
是哪一种偏正并联机构；
进一步还包括确定
运动平台的结构形式；
基础平台的结构形式；
支链的结构形式；
等等。
通常，在支链相同型对称并联机构，不同支链型对称并联机构，和偏正并联机构，等支链偏正并联机构之间选择。如果选择偏正并联机构，则还有确定是冗余支链偏正并联机构，还是少支链偏正并联机构，还是恰支链偏正并联机构。
确定并联机构运动平台、基础平台和基础平台尺寸（相对尺寸），布局支链，形成并联机构的初步轮廓，检测自由度特性，检测稳定性，检测奇异性，检测工作空间等，如不符合设计要求，返回作适当更改。如果符合要求，则输出结果。
7.2.3非理想并联机构的生成方法
我们假设，在并联机构中，同一种运动模式的支链不是唯一的，每一种理想支链都至少有一个相同运动模式的支链，可以代替原理想支链，原并联机构的运动模式不变。（工作空间或绕道空间会有不同）。
基于以上假设，以现有的理想并联机构为基本生成单元，至少作以下一种替换：
用具有相同运动模式的非理想支链代替原理想支链，代替一个支链或全部支链
用一种新的基础平台结构代替原基础平台结构；
用一种新的运动平台结构代替原运动平台结构；
得到一个新的并联机构。
对这个并联机构作如下检测：
检测自由度特性，检测稳定性，检测奇异性，检测工作空间等，如不符合设计要求，返回作适当更改。如果符合要求，则输出结果。
上述方法称为横向组合方法。
作为一种并联机构的生成方法，应当列举几个实例。一来用于检测和实证方法的正确性，二来便于读者理解。但是，由于这篇博文有点长，写的时间也有点长。不写了。以后再列举吧。
主要参考文献
1、杨廷 力机器人机构拓扑结构学[M]．北京：机械工业出版社，2004.
2、孟宪源，姜琪编著 机构构型与应用[M．北京：机械工业出版社，2004.1
3、邹慧君，高峰主编 现代机构学进展．第1卷／．北京：高等教育出版社，2007.4
4现代机构学进展．第2卷／邹慧君，高峰主编．一北京：高等教育出版社，2011.10
5、逻辑学导论：第13版／（美）柯匹，（美）科思著；张建军等译．北京：中国人民大学出版社，2014.10
6、并联机器人型综合的 GF 集理论／高峰，杨加伦，葛巧德著．﹣北京：科学出版社，2010
7、并联机构构型综合／（加）孔宪文，（加）戈斯林（ Gosselin , C .）著；于靖军，周艳华，毕树生译．北京：机械工业出版社，2013.9
8、 Parallel Robots ( Second Edition ) J .-P . MERLET INRIA , Sophia - Antipolis , France
9、Structural Synthesis of Parallel Robots Part 1-part5 GRIGORE GOGU Springer
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