极限是高等数学的基础概念。我们在教科书看到的极限定义，是柯西提出，并经过魏尔斯特拉斯完善的，采用ε-δ语言定义。这个定义对于初学者来说，是如此的不直观、困惑。但确实解决了牛顿、莱布尼茨对无穷小概念的一个漏洞。

下面以求函数y=x²的导数为例说明问题。从直觉出发，有下面的推导过程，假设Δx是无穷小：

在上面的推导中，倒数第2行，2x+Δx=2x，这说明Δx是零，因此可以被略去。倒数第3行，分子分母都有Δx，然后消去，则说明Δx不是零，因为0除0是完全无意义的。

矛盾来了，Δx既是零，又不是零，这违反了形式逻辑，对于数学这样最讲究严密的学科来说，是说不通的。牛顿和莱布尼茨都没有解决这个问题，眼尖的学者自然不会放过，贝克莱主教在他的著作中提出了严厉的批评：“用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果。”由此引发了数学史上的危机（上一次危机是毕达哥拉斯门下有人发现无理数的存在），贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了当时微积分理论中的缺陷，是切中要害的。

   用柯西和魏尔斯特拉斯的方式，就没有问题了，柯西明确定义导数就是极限：

 按照魏尔斯特拉斯给出的ε-δ方式，y=x²的导数应该这么理解：

 任意给定很小的正数ε，如果总是可以找到另一个正数δ，使得满足不等式：

时，（由这个不等式可以看出，显然Δx不是零）。

下面我们开始寻找正数δ，显然，令：δ<ε，立即可证之前的所有不等式，问题得到圆满解决，不会有什么形式逻辑上的矛盾。

看到这里，是不是感觉有些无聊？下面进入本文的重点，怎样从工程师的视角来理解极限？

我们在工程实践中，获得某个函数，这个函数是从哪里来的呢？无非是，要么是直接采用测量数据，绘制成函数，这种一般没有解析表达式；要么是采集冗余的测量数据，再用最小二乘等数据处理方法拟合。无论如何，来源于测量数据，测量数据都必然有误差，包括系统误差和随机误差、还有粗差。误差的分析和处理是工程实践的重中之重。

我们求y=x²的导数，希望不扩大原先测量数据的误差，这一条如果做不到，至少误差能够限定在工程可控的范围。从这个视角出发，ε-δ语言是对误差范围的一种控制。 假定在某个工程中，ε是我们能接受的误差的限度，那么，只需要保证：

完全可以略去Δx，这是因为，我们可以保证Δx的绝对值小于之前给定的误差限度。

下面是个人的想法：就算是纯数学的很多概念，它的来源也是生产实践。而不是教科书那样的，从定义、公理出发，然后定理推导，最后不痛不痒地给几个例子。当然，课堂的教学时间有限，教科书写成这样是不得已。对于工程师来说，把数学来源、以及与工程的联系搞清楚，有助于理解数学，更有助于应用数学，真正把数学转换为生产力，定理的严格证明反而不是最重要的。但是工程师不能把数学学完、考试通过，然后就把数学都扔了。工程师和数学专业工作者的任务是极其不同的，对于数学家来说，他们更关心数学这个工具本身的完备性。

上面的例子，是说明极限概念的理论价值，填补了牛顿、莱布尼茨的一个理论漏洞（要完全填补，还需要建立完整的实数理论、以及测度的概念，本文不涉及）。当然，极限概念本身也有直接的工程价值，这种工程应用的效果是非常惊人的。

下面以圆周率的计算为例，我们很早就知道圆周率是3.14，对于木匠做一个圆桌，用3.14当然是足够了。但是进入工业化社会，生产标准化的零件、轴承、高精密度的仪器，3.14就不够精确了。因此，在很长一段时间，圆周率的计算是有工程背景的。以电力系统专业做例子，我以前测算过，如果圆周率取3.14，而不是更高精度。某高压直流输电工程的潮流计算结果，会带来兆瓦级的功率误差。

在高等数学还没建立的时期，人们用圆的内接或外切正多边形来逼近圆。正多边形的边越多，就越接近于圆。具体的推导我就不列出了，总之，这是一个极其繁琐、工作量很大的工作。有大量的开根号操作，考虑到古人没有计算器、计算尺，完全手算，确实麻烦。

值得一提的是我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之，得到了圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这是一个伟大的成就。

高等数学建立后，特别是极限的概念有了以后，很多常量或者非常量的计算（如三角函数、对数）可以用级数展开的方式。更重要的是，在级数展开有限步后，剩余误差是可以估计出的。如果查看C语言的底层实现（C 标准库），会发现很多函数是用级数展开求解的，例如对数、三角函数等。如果CPU硬件的指令集可以直接支持某个函数计算，那多半也是用级数展开，只不过通过微指令的方式，固化到硬件层面来实现。

还是回到圆周率，祖冲之用了大半辈子的时间，才终于算出了较精确的值。时间到了18世纪，大数学家欧拉是怎么计算圆周率呢？

   arctan有下面的级数展开公式：

仅仅展开到6项，就可以得到3.14159265357.

据欧拉本人说，他算出圆周率20位小数，全部时间只花了大约1小时。祖冲之半辈子的成果，不及欧拉的1小时。这就是高等数学巨大的威力，这就是人类的智慧。

从工程师的角度来说，一个顶尖的理论创新成果，不仅在理论上有很大的意义，在工程实践应用上，也有降维打击的效果。要么解决以前根本不能解决的问题；要么成本有很大的下降。有的成果可以把应用效果从99分提高到99.1分，但是本身的成本提高了，或者带来了其它问题，例如数值稳定性下降、可解释性下降、工程管理难度提高等等。这样的成果，对工程师来说，需要客观看待。